今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是1992年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
设函数 由方程 确定, 则 ?
隐函数求导。
unsetunset第2题unsetunset
函数 在点 处的梯度 ?
直接套用梯度计算公式。
unsetunset第3题unsetunset
设
则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于 ?
狄利克雷收敛定理，端点处的情况。
unsetunset第4题unsetunset
微分方程 的通解为 ?
一阶线性非齐次微分方程公式 OR 积分因子法。这里都不用因子都能一眼看出同时除以 可以凑出全微分。
熟悉求导公式 即可。
unsetunset第5题unsetunset
设
其中 , 则矩阵 的秩 ?
各行均成比例，且各列均成比例，非常标准的秩一矩阵，因此秩为1。
第一次出现这个考点，所以下面带大家一起复习一下常用的8条秩一矩阵结论，这里不做证明。（设下面叙述的矩阵 为 阶方阵（当然不是方阵也可以，只不过方的秩一矩阵考频高，非方阵秩一矩阵性质类似，读者可以自行探索）。
各行（列）成比例 可以分解为：，其中 均为 维非零列向量 ，即 的迹等于两个向量的内积 如果 ，则可以对角化；反之则不能 次幂：（1994年数一第5题考察） 特征值：1个 和 个 0 是特征值 对应的特征向量
所以本题答案是1.
unsetunset第6题unsetunset
当 时, 函数 的极限 ?
(A) 等于
(B) 等于
(C) 为
(D) 不存在但不是
分为 和 两种情况讨论，发现极限都存在但不相等，因此选 D。
unsetunset第7题unsetunset
级数 (常数 ) ?
(A) 发散
(B) 条件收敛
(C) 绝对收敛
(D) 收敛性与 有关
加绝对值后，运用等价无穷小发现敛散性和 的 级数相同，故绝对收敛。
unsetunset第8题unsetunset
在曲线 的所有切线中, 与平面 平行的切线 ?
(A) 只有 条
(B) 只有 条
(C) 至少 条
(D) 不存在
求出切线方向向量，其与已知平面法向量垂直，列式得两个根。检验发现两个切点均不在已知平面上，所以有两条。
unsetunset第9题unsetunset
设 , 则使 存在的最高阶数 为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
在 处任意阶可导，因此不用讨论。而剩下的部分慢慢讨论即可。导两次发现得到 显然不可再导，因此最高2阶可导。
unsetunset第10题unsetunset
要使 都是线性方程组 的解, 只要系数矩阵 为 ?
(A) (B) (C) (D)
显然 和 线性无关，因此解空间的维度至少为2，由解空间维度公式：
得：矩阵 的秩为1。验证发现只有 A 选项正确。
unsetunset第11题unsetunset
求 .
分母等价无穷小，分子 即可。
unsetunset第12题unsetunset
设 , 其中 具有二阶连续偏导数, 求 .
简单计算题。
unsetunset第13题unsetunset
设
求 .
换元，分段积分。
unsetunset第14题unsetunset
求微分方程 的通解.
二阶线性非齐次微分方程基础题。
unsetunset第15题unsetunset
计算曲面积分
其中 为上半球面 的上侧.
补面法 + 公式。球坐标求三重积分。
unsetunset第16题unsetunset
设 ，证明：对任意的 ，有 $f(x_1+x_2)
本题是1990年数三原题！原题！
本质考察的是凹凸性，取 ， 满足 ，结合 不等式 ，分别在点 和点 处运用即可三行秒杀。但是直接这么做就有点太浪费这个题目了，所以下面再介绍两个方法。
方法1：Lagrange中值定理：对待证式子作差，结合 即可两次运用 中值定理，结合一阶导单调递减即可证明。
方法2：构造辅助函数：其实就是主元法，我们把 看作主元，构造辅助函数，求导证明单调递减即可。
unsetunset第17题unsetunset
在变力 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点 ，问：当 取何值时，力 所做的功 最大？并求出 的最大值.
物理题。根据直接参数方程求解曲线积分，得到做功表达式：.
所以问题变成条件极值问题，常规操作是拉格朗日乘数法，但是一般我懒得解方程而且太慢，基本不用，所以下面介绍两个其他方法：
方法1：三元基本不等式：
方法2：球坐标换元：
unsetunset第18题unsetunset
设向量组 线性相关，向量组 线性无关，问：
(1) 能否由 线性表示？证明你的结论；
(2) 能否由 线性表示？证明你的结论。
定义题，根据定义慢慢证，不可能证不出来，觉得不好写的时候考虑反证即可。
unsetunset第19题unsetunset
设 3 阶矩阵 的特征值为 ，对应的特征向量依次为
又向量 。
(1) 将 用 线性表示；
(2) 求 （ 为自然数）。
第一问，线性方程组问题。
第二问，矩阵 次幂问题，根据特征值和特征向量的关系代入第一问求出来的结果即可。
unsetunset第20题unsetunset
已知 ，则事件 全不发生的概率为 ?
加法公式。
unsetunset第21题unsetunset
设随机变量 服从参数为 的指数分布，则数学期望 ?
根据期望的线性可加性拆分，第一部分套结论，第二部分用定义。
unsetunset第22题unsetunset
设随机变量 与 独立， 服从正态分布 ， 服从 上的均匀分布，试求 的概率密度（计算结果用标准正态分布的分布函数 表示，其中 ）。
这个题我很喜欢，对没有掌握卷积公式的朋友可以说非常困难了，计算量那是真的大，这里我就直接按卷积公式法来讲解。
如果不知道卷积公式是什么的朋友可以参考1987年真题的最后一题，我介绍了两种方法，第二种就是卷积公式，介绍的非常详细，文章附在下面：
对于本题，首先运用卷积公式得到积分表达式，然后对标准正态分布的概率密度函数 ，从而转换为标准正态分布的分布函数 进行换元的表达式。
以上就是对于1992年数一真题的全部解答，难度不算大，但是部分题目如果不知道结论可能会花些时间，比如第5题考察秩一矩阵（当然这个题知不知道结论不太影响），第16题凹凸性，还有最后一题的卷积公式。其次是掌握一些其他方法可以加快解题速度，比如第17题如果熟练掌握高中学的三元基本不等式可以快不少。
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