1 一、选择题
1.
当 时，若 与 为同阶无穷小量，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点
- 无穷小量阶的比较
- 泰勒公式与等价无穷小
解析：
当 时，
因此，
从而
故 与 为同阶无穷小量，所以
2.
函数 的拐点为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点
- 参数函数的高阶导数
- 拐点的判定：二阶导数在点的两侧变号
解析：
对函数求导，得
在区间 内，由 得
当 时，；当 时，。因此， 在 的两侧变号，故对应点为拐点。
又
所以拐点为
3.
下列反常积分发散的是
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
知识点
- 无穷区间上的反常积分
- 换元积分法
- 反常积分的敛散性判定
解析：
逐项判断。
选项 A：
故收敛。
选项 B：令 ，则
故收敛。
选项 C：令 ，则
故收敛。
选项 D：
因此，发散的是选项 D。
4.
微分方程 的通解为
则 的值为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
知识点
- 二阶常系数齐次线性微分方程
- 特征方程与重根
- 非齐次线性微分方程的特解
解析：
由通解中的齐次解
可知，齐次方程的特征方程有二重根 。因此，
从而
又通解中的一个特解为
将其代入原方程，得
即
故
因此，
5.
已知积分区域
且
则大小关系为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点
- 二重积分的保序性
- 三角函数不等式
- 利用被积函数比较积分大小
解析：
令
由
可知
当 时，
且
因此，在 内除原点外有
由于 具有正面积，且上述不等式在 中的正面积区域上严格成立，由二重积分的保序性可得
6.
已知 二阶可导且在 处连续，则 相切于 且曲率相等是
的
- A. 充分非必要条件
- B. 充分必要条件
- C. 必要非充分条件
- D. 既非充分又非必要条件
答案： A
知识点
- 函数相切的条件
- 曲率公式
- 二阶泰勒公式
- 充分条件与必要条件的判定
解析：
令
由
以及 在 处连续，得
进一步，
又由二阶泰勒公式，
因此，
即
故两曲线在 处有相同的切点和切线，并且由曲率公式
可知两曲线的曲率相等。因此，所给极限条件是充分条件。
反之，取
两曲线在 处相切，且曲率均为 ，但
故该条件不是必要条件。
因此，应选 A。
7.
设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵。若线性方程组
的基础解系中只有 个向量，则 的秩是
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点
- 齐次线性方程组基础解系的向量个数
- 矩阵的秩与零空间维数
- 伴随矩阵的秩
解析：
齐次线性方程组
的基础解系中有 个向量，即
由秩-零度定理，
故
对于 阶矩阵 ，伴随矩阵的秩满足
本题中 ，且
所以
8.
设 是 阶实对称矩阵， 是 阶单位矩阵。若
则二次型 的规范形为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点
- 实对称矩阵的特征值
- 矩阵多项式与特征值
- 特征值之积与行列式
- 二次型的正、负惯性指数及规范形
解析：
设 是 的任一特征值。由
可知
因此，
即
又因为
而行列式等于全部特征值的乘积，所以三个特征值中必须有两个为 、一个为 ，即
由于 是实对称矩阵，其正、负惯性指数分别为
故二次型的规范形为
2 二、填空题
9.
答案：
知识点
- 型未定式
- 对数恒等变形
- 洛必达法则
解析：
设原极限为 。由于
可取对数，得
这是 型未定式。由洛必达法则，
因此，
10.
曲线
在对应点 处切线在轴上的截距为
答案：
知识点
- 参数方程确定的曲线
- 参数曲线的切线斜率
- 直线的截距
解析：
当
时，
又
故
切线方程为
即
令 ，可得其在 轴上的截距为
同时，令 所得的纵截距也为该值。
11.
设函数 可导，，则
答案：
知识点
- 多元复合函数的偏导数
- 链式法则
- 偏导数组合式的化简
解析：
令
则
由链式法则，
因此，
12.
函数 的弧长为
答案：
知识点
- 平面曲线的弧长公式
- 三角恒等式
- 的积分
解析：
由
得
因此，曲线弧长为
在区间
上有 ，故
于是，
13.
已知函数
则
答案：
知识点
- 含变上限积分的函数
- 二次积分交换积分次序
- 换元积分法
解析：
记
由题意，
积分区域为
交换积分次序，得
令
则
14.
已知矩阵
表示 中 元的代数余子式，则
答案：
知识点
- 代数余子式
- 行列式按行展开
- 四阶行列式的计算
解析：
按矩阵 的第一行展开行列式，得
对行列式作初等行变换
得
因此，
3 三、解答题
15.
已知
求 的极值。
知识点
- 分段函数的连续性与可导性
- 导数的符号与函数的单调性
- 极值的第一充分条件
解析：
先考察 处。
当 时，
当 时，
又
故 在 处连续。
当 时，
当 时，
在 处，右导数为
而左导数为
所以 在 处不可导。
令各区间内的导数为零，得
或
导数符号如下：
因此：
- 在 处，导数由负变正，取得极小值
- 在 处，函数左侧递增、右侧递减，取得极大值
- 在 处，导数由负变正，取得极小值
16.
求不定积分
知识点
- 有理函数的部分分式分解
- 第一类换元积分法
- 基本积分公式
解析：
设
通分并比较系数，可得
因此，
于是，
17.
是微分方程
满足 的特解。
（1）求 ；
（2），求平面区域 绕 轴旋转成的旋转体体积。
知识点
- 一阶线性微分方程
- 积分因子法
- 定解条件
- 旋转体体积的圆盘法
解析：
（1）原方程为
积分因子为
方程两边同乘 ，得
积分可得
故
由
得
所以
因此，
（2）区域 绕 轴旋转所得旋转体的体积为
代入
得
18.
已知平面区域 满足
求
知识点
- 二重积分的极坐标变换
- 极坐标下积分区域的确定
- 对称性
- 三角函数幂的积分
解析：
作极坐标变换
由
可得
故
又由
得
当 时，
即
因此，区域 在极坐标下表示为
被积函数变为
且
于是，
由于积分区间关于 对称，且
所以含 的积分为零。因此，
令
则
19.
设 为正整数，记 为曲线
与 轴之间图形的面积。求 ，并求 。
知识点
- 曲线与坐标轴围成图形的面积
- 含绝对值的定积分
- 周期分段与等比数列求和
- 数列极限
解析：
由于面积应取函数绝对值的积分，所以
将积分区间按长度 分段：
在第 个小区间中，令
则
从而
而
因此，
即
由于
故
20.
已知函数 满足
求 的值，使得在变换
下，上述等式可化为函数 的不含一阶偏导的等式。
知识点
- 二阶偏微分方程中的函数变换
- 复合函数的偏导数
- 消去一阶偏导项
解析：
由
可得
以及
代入原方程，并约去非零因子 ，得
要使方程中不含一阶偏导项，应有
解得
此时零阶项的系数也为零，因此变换后的方程可进一步写为
即
21.
已知函数 在 上具有二阶导数，且
证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ，使得 。
知识点
- 连续函数的介值定理与最值定理
- 罗尔定理
- 极值点的必要条件
- 带拉格朗日余项的泰勒公式
解析：
（1）由于 在 上具有二阶导数，因此 在 上连续。
先证明在 内存在一点 ，使得
若对任意 都有
则由 及连续性，存在 ，使得当
时有
于是，
这与已知条件矛盾。因此，存在
使得
由
以及介值定理，存在
使得
又
由罗尔定理，存在
使得
（2）由连续函数的最值定理， 在 上存在最大值。设
由（1）中的结论可知存在 使得 ，故
又
所以最大值点满足
由极值点的必要条件，
在 处对 使用带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，存在
使得
代入
得
因此，
由于
故
22.
已知向量组
若向量组（I）和向量组（II）等价，求 的取值，并将 用 线性表示。
知识点
- 向量组等价的判定
- 矩阵的秩与列向量组的秩
- 初等行变换
- 向量的线性表示及表示的唯一性
解析：
将两个向量组的向量合并为矩阵，并作初等行变换：
记
两个向量组等价的充要条件为
分情况讨论。
当
时，
此时
两个向量组都张成 ，故等价。
当
时，变换后矩阵的第三行全为零，并且
故两个向量组仍等价。
当
时，
而合并矩阵的第三行在 所在列中出现非零元素，因此
故两个向量组不等价。
综上，
下面表示 。直接计算得
因此，对所有满足 的情形，都有一个线性表示
补充说明：
- 当 时，向量组（I）线性无关，所以上述表示唯一。
- 当 时，向量组（I）线性相关，表示不唯一。其一般形式为
23.
已知矩阵
相似。
（1）求 ；
（2）求可逆矩阵 ，使得
知识点
- 相似矩阵的特征多项式
- 相似矩阵的迹与行列式
- 矩阵方程
- 可逆矩阵的构造与验证
解析：
（1）因为
所以二者的特征多项式相同。
对 ，有
对 ，有
比较两个特征多项式的系数，可得
也可由相似矩阵的迹与行列式分别相等，得到
解得同样的结果：
（2）当
时，
设
由
可知各列应满足
可取
于是，
其行列式为
故 可逆。
又可直接验证
因此，
