[NEU-真题] 东北大学研究生《应用数理统计》好题集锦

一、已知随机变量 ，随机变量  关于  的条件分布服从正态分布，即 . 证明  关于  的条件分布服从正态分布，并求出相应的期望与方差.

【解析】

由条件知联合密度

其中 ，即 . 对  积分，后一项不含 ，故

化简指数部分：

因此 . 进而

故 . 代入  得

二、设简单随机样本  来自二项分布 ， 已知. 如果参数  的先验分布具有分布律：

在平方损失函数下，求  的 Bayes 估计.

【解析】

记 ，则 . 似然函数为

后验分布律为

归一化后得

平方损失下的 Bayes 估计为后验期望：

三、假设  为标准正态总体  的简单随机样本.

(1) 如果 ，求出  的分布，并给出  与  独立的充分必要条件，其中 , .

(2) 证明  与  相互独立.

【解析】

(1) 由 ， 均为  的线性组合，故  服从二元正态分布. 其均值

协方差矩阵为

故

即  的联合分布为相关系数为  的二元标准正态分布.  与  独立的充分必要条件为 ，即

(2) 令 ，则  服从退化正态，且  与  相互独立.  是  的连续函数，故  与  独立，即  与  相互独立.

四、设  是来自总体  的简单随机样本，其中  已知.

(1) 求  的矩估计；

(2) 比较  的矩估计与样本方差  哪个更有效；

(3) 利用  的矩估计，求  置信度为  的置信区间.

【解析】

(1) 总体方差 . 用样本矩替换得矩估计

(2) 令 ，则

因此

样本方差  满足 ，故

由于 ，矩估计  比  更有效.

(3) 由  得

其中  为  的上侧  分位数. 解得  的置信区间为