【命题趋势与难度分析】本篇收录了 1987 年至 1996 年的早期真题。在这一阶段，“确定极限中的参数”这一题型的命题风格非常“代数化”。 命题人的核心套路极其统一：“泰勒公式展开 + 同阶系数比对”。这类题目的表象是求极限，本质上是考查考生能否精准地写出带皮亚诺余项的泰勒公式，并根据极限为常数的条件，反推分子分母中低次项系数必须为 0、同次项系数之比等于极限值。这一阶段的题目是训练泰勒公式基本功的绝佳素材，属于考场上必须拿满分的“计算题”。
1.【1987年，数一，8分】
求正的常数 与 ，使等式 成立.【技巧】：变上限积分的 “0/0” 型极限，联合洛必达法则与等价无穷小代换。【解答】： 当 时，分子 。为使极限为非零常数 ，分母也必须趋于 。 原式为 “” 型，使用洛必达法则，分子分母同时求导：
此时分子趋于 ，分母也必须趋于 以保证极限存在。故 ，解得 。 将 代入，分母变为 。利用等价无穷小 ：
解得 ，因为 为正的常数，即 。【答案】：
2.【1994年，数二，3分】
设 ，其中 ，则必有（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .【技巧】：利用带皮亚诺余项的泰勒公式展开，提取同阶无穷小的系数解方程。【解答】： 当 时，对分子分母分别进行泰勒展开： 分子：分母：故原极限可写为：
已知 ： 若 ，则 。此时分母为二阶无穷小 ，分子为一阶无穷小 ，极限将趋于 ，与极限为 矛盾，故 。 当 时，分母为一阶无穷小，分子也必须为一阶无穷小，由最高次幂系数比值决定极限：
【答案】：(D)
3.【1994年，数二，4分】
设 ，则（ ）(A) .(B) .(C) .(D) .【技巧】：利用泰勒公式将对数函数展开，提取同阶系数解方程。【解答】： 将 在 处泰勒展开到二阶：。 代入极限式的分子中，可得：
原极限化为：
要使极限为常数 ，分子中低于分母次数的项必须为0，同次项的系数之比等于极限值。 故一次项系数必须为 0：。 二次项系数等于 2：。【答案】：(A)
4.【1996年，数一，3分】
设 ，则 ________.【技巧】： 型极限求参数，利用提取公因式配凑第二个重要极限公式。【解答】： 将极限写为重要极限的标准形式：
由于内层中括号的极限趋于 ，外层指数的极限为：
故原极限的值为 。已知该极限等于 ，即：
两边同时开三次方可得 ，解得 。【答案】：