统计概率题型分类总结【高考真题】

我在整理历年高考真题时发现，高考数学的命题逻辑非常稳定。每一道高考真题背后藏着命题人的思路和考查重点，它们都是精华，是通往高考数学高分的地图。请务必记住：彻底掌握高考真题是你应对高考的最低成本和最高回报的投资。在这个基础上再加以适量的变式训练，查漏补缺，才能真正做到胸有成竹、从容应考。

类型一：古典概型与计数原理

【识别信号】

"随机抽取"、"任取"、"恰有"、"至少"、"分配"、"排队"

【核心方法】

【2018年高考卷理科新课标I第15题填空题5分】

2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)

【解】C₆³−C₄³=16或C₂¹C₄²+C₂²C₄¹=16

类型二：二项分布核心应用

【识别信号】

"独立重复"、"有放回"、"每次概率相同"、"大量"、"相互独立"

【公式】

P(X=k)=C_n^kp^k(1−p)^n−k

E(X)=np，D(X)=np(1−p)

【概率最大点】

比较P(X=k)/P(X=k−1)与1，或直接用(n+1)p取整。

【2018年高考卷理科新课标III第8题单选题5分】

某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()

A．0.7　　B．0.6　　C．0.4　　D．0.3

【解】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B(10，p)，

P(x＝4)＜P(X＝6)，即C₁₀⁴p⁴(1−p)⁶<C₁₀⁶p⁶(1−p)⁴，可得p>1/2。

因为DX＝2.4，即10p(1﹣p)＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4(舍去)，故选：B。

【2021年高考卷理科新课标I第18题解答题12分】

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否,该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列;

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。

【解】(1)小明先回答A类问题，回答问题可能⑴A错误、⑵A正确B错误、⑶A正确B正确，即X的所有可能取值为0、20、100。

P(X=0)=1-0.8=0.2

P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8×0.6=0.2

X的分布列如下：

(2)如果小明先回答B类问题，则回答问题可能⑴B错误、⑵B正确A错误、⑶B正确A正确，即X的所有可能取值为0、80、100。记小明的累计得分为Y。

P(Y=0)=1-0.6=0.4

P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12

P(X=100)=0.6×0.8=0.48

Y的分布列如下：

根据上表可得：E(Y)=0×0.4+80×0.32+100×0.48=57.6

根据(1)可得：E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4

因为E(Y)>E(X),所以小明应该先回答B类问题。

类型三：超几何分布与二项分布辨析

【辨析标准】

【转化关系】

N很大、n很小时，H(N,M,n)≈B(n,M/N)

【2023年高考卷理科甲卷第19题解答题12分】

为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)。

[1]设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；

[2]测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.3、18.4、20.1、20.4、21.5、23.2、24.6、24.8、25.0、25.4、26.1、26.3、26.4、26.5、26.8、27.0、27.4、27.5、27.6、28.3

实验组：5.4、6.6、6.8、6.9、7.8、8.2、9.4、10.0、10.4、11.2、14.4、17.3、19.2、20.2、23.6、23.8、24.5、25.1、25.2、26.0

[i]求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：

[ii]根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。

【解】根据题意，两只小鼠中对照组小鼠数目可能为X=0、1、2,则

P(X=0)=C₂₀⁰C₂₀²/C₄₀²=19/78

P(X=1)=C₂₀¹C₂₀¹/C₄₀²=20/39

P(X=2)=C₂₀²C₂₀⁰/C₄₀²=19/78

X的分布列如下：

E(X)=0×19/78+1×39/20+2×19/78=1

(2)排序结果：

5.4、6.6、6.8、6.9、7.8、8.2、9.4、10.0、10.4、11.2、14.4、17.3、17.3、18.4、19.2、20.1、20.2、20.4、21.5、23.2、23.6、23.8、24.5、24.6、24.8、25.0、25.1、25.2、25.4、26.0、26.1、26.3、26.4、26.5、26.8、27.0、27.4、27.5、27.6、28.3

因为40只小鼠的体重数据，中位数为20和21的平均数，m=(23.2+23.6)/2=23.4

根据公式K=n(ad-bc)²/(a+b)(a+c)(b+d)(b+c)=6.400>3.841,所以有95%把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。

类型四：条件概率、全概率与贝叶斯

【识别信号】

"已知..."、"在...条件下"、"先...再..."、"分阶段"、"由果溯因"

【核心工具】

画概率树==》标概率==》分层计算

公式

全概率公式：ΣP(BA_i)=ΣP(A)(B|A_i)

贝叶斯公式：ΣP(A_i|B)=PP(A_i)(B|A_i)/ΣP(A_i)(B|A_i)

【2019年高考卷新课标I第15题填空题12分】

甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是()。

【解】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。

设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：

①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p₁＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，

②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p₂＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，

③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p₃＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，

④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p₄＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，

则甲队以4：1获胜的概率为：

p＝p₁+p₂+p₃+p₄＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18

故答案为：0.18

【2022年高考卷新课标I第20题解答题12分】

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(BIA)/P(B(--)IA)与P(BIA(--))/(B(--)IA(--))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R。

(i)证明:R=[P(AIB)/P(A(--)IB)]×[P(A(--)IB(--))/P(AIB(--))]

(ii)利用该调查数据,给出P(A1B),P(A1B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.

附:K²=n(ad-bc)²/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解】(1)根据题意，由公式可得K²=200×(40×90-60×60)²/(40+60)(10+90)(40+10)(60+90)=24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病的群体与未患该疾病的群体的卫生习惯有差异。

(2)

(i)证明：

∵P(B|A)=P(AB)/P(A),P(B(--)|A)=P(AB(--))/P(A(--))，P(B(--)|A(--))=P(A(--)B(--))/P(A(--))，P(B|A(--))=P(A(--)B)/P(A(--))

代入R表达式，分母分别消去P(A)和P(A(--))

∴R=[P(AB)/P(AB(--))]×[P(A(--)B(--))/P(A(--)B)]={[P(AB)/P(B)]/[P(AB(--))/P(B)]}×{[P(A(--)B(--))/P(B(--))]/[P(A(--)B)/P(B(--))]}

∵P(A(--)B)=P(AB(--))

∴R=[P(AIB)/P(A(--)IB)]×[P(A(--)IB(--))/P(AIB(--))]

(ii)根据调查数据可得P(A|B)=40/100=2/5，P(A|B(--))=10/100=1/10

∴P(A(--)|B)=1-P(A|B)=3/5，P(A(--)|B(--))=1-P(A|B(--))=9/10

∴R=[P(AIB)/P(A(--)IB)]×[P(A(--)IB(--))/P(AIB(--))]=6

类型五：正态分布与3σ原则

【识别信号】

"近似"、"大量数据"、"服从正态分布"、"μ"、"σ"、"估计"

【标准化公式】

Z=(X−μ)/σ,P(a<X<b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)

【2017年高考卷理科新课标I第19题解答题12分】

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ²)。

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ，μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ﹣3σ，μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得x(--)＝(1/16)Σx_i＝9.97，s＝√[(1/16)Σ(x_i-x(--))²]＝√[(1/16)(Σ(x_i²-16x(--)²)]≈0.212，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．

用样本平均数x(--)作为μ(^)的估计值，用样本标准差s(^)作为σ的估计值σ(^)，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ²)，则P(μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ)＝0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，√0.008≈0.09．

【解】∵P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9974，即尺寸落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之内的概率为)0.9974，

∴尺寸落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之外的概率为1-)0.9974=0.0026

∵P(X=0)=C₁₆⁰×(1-0.9974)⁰×0.9974¹⁶≈0.9592

∴P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0408

∵X~B(16，0.0026)，∴E(X)=16×0.0026=0.0416

(2)

(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外的概率只有)0.0026，一天内抽取的)16)个零件中，出现尺寸在(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。

(ⅱ)由x(--)＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ(^)＝9.97，σ的估计值为σ(^)＝0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外，因此需对当天的生产过程进行检查。

剔除(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为(16×9.97﹣9.22)/15＝10.02，

∴μ的估计值为10.02

Σx_i²=16×0.212²+16×9.97²≈1591.134

剔除(μ(^)-3σ(^),μ(^)+3σ(^))之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为(1591.134﹣9.22²﹣15×10.02²)/15≈0.008，因此σ的估计值为√0.008≈0.09