2026海珠区中考二模数学第24题（含参的二次函数综合题）
一、 【题目原文】
24.（本小题满分12分）已知抛物线，直线与抛物线交于点、点，点在点右侧，其中。(1) 当时，① 求点、点的坐标（用含的字母表示）；② 点为下方该抛物线上的动点，连接、，面积为，求点横坐标的值；(2) 抛物线与轴的两个交点的横坐标为，，且满足，过点做轴平行线与抛物线交于点，若反比例函数与抛物线上点、两点之间的图象有交点，请求的取值范围。
二、【参考解答】
(1) ① 当时：
抛物线解析式为，直线解析式为。联立解析式：，整理得，即，解得，。将代入直线解析式得：，即；将代入直线解析式得：，即。
(1) ② 设点，过点作轴，交直线于点，则：
。的面积公式：，代入得：，化简得，解得，。因此点的横坐标为或。
(2) 由题意，抛物线，根据韦达定理：
，。代入条件，得：，化简得。因此抛物线解析式为，直线解析式为。联立抛物线与直线解析式：，解得或，得交点，。过点作水平直线，交抛物线于点：解方程，得或，即。
已知，
反比例函数与抛物线段有交点，则。
在抛物线部分：越大，对应的抛物线上的也越大；因为，、同时增大，所以乘积随增大单调递增。因此：线段左端点的最大值对应的最小值，线段右端点的最小值对应的最大值，即
计算：。当时，随的增大而减小，因此随增大而减小。当时，；当时，。
计算：，设，由，得，代入得。该二次函数开口向上，且对称轴小于，因此在范围内，随增大而增大。当（即）时，；
当（即）时，。
综上，的取值范围为：。
三、学生疑难点分析
(1)② 面积公式的应用误区：
(2) 韦达定理的变形应用：
(2) 点的坐标推导：
(2) 的单调性分析：
四、师生对话设计
场景1：解决(1)② 面积计算的困惑
生：老师，我用面积公式算的时候，为什么得到的是负数？而且算出来的面积也不对。师：你先说说，是怎么算的？生：我用点的纵坐标减去点的纵坐标，结果是，算出来是负的，就不敢用了。师：你观察一下点和点的位置关系，题目里说点在下方，那点是在直线上的，对吧？那哪个点的纵坐标更大？生：哦！点在直线上，点在抛物线上，所以直线上的点的纵坐标比抛物线上的点大，所以应该用的纵坐标减的纵坐标，这样就是正的了！师：没错！而且三角形的面积公式里，我们用的是铅垂高乘以水平宽的一半，水平宽是，你再重新算一遍试试？生：我用，化简后是，解得或，对了！
场景2：解决(2) 韦达定理与参数化简的困惑
生：老师，这个条件，我不会用韦达定理转化。师：我们回忆一下，对于一元二次方程，两根之和，两根之积。那你先写出这个抛物线对应的一元二次方程的两根和与积。生：抛物线是，令，得，所以，。师：那题目里的，可以怎么改写？生：，哦！我知道了，代入的话就是，两边乘的话就是，所以！师：非常好！你发现了吗？这个可以把抛物线和直线的解析式都简化，后续联立的时候计算会简单很多，这就是参数化简的关键。
场景3：解决(2) 的单调性分析
生：老师，为什么段上的是单调递增的？我怎么判断和的变化？师：我们先看抛物线的解析式，它的开口向上，对称轴是。你看看点的横坐标是，点的横坐标是，这两个点都在对称轴的哪一侧？生：对称轴是，和都比大，所以都在对称轴的右侧！师：没错！开口向上的抛物线，对称轴右侧是随的增大而增大的，所以段上，越大，也越大，那，两个正数都在增大，乘积是不是也一定增大？生：对！所以在段上是单调递增的，那最小值就在点，最大值就在点？师：但是要注意，和的坐标里都有参数，所以我们还要分析当变化时，和对应的的取值范围，这时候就需要分别求和在的最值了。
五、板书设计
【主板书：核心解题步骤】
【副板书：易错点提示】
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