(2)2026年中考辽宁省
鞍山市立山区三模数学第23题
【延伸阅读】
如图1，点A'是点A关于直线y=x的对称
点，分别过点A, A'作y轴，x轴的垂线，
垂足为点M, N，连接OA, OA', AA'，
可以利用轴对称图形的性质证明
△AMO∽△ A'NO，从而由点A(x, y)的
坐标可求得点A'的坐标(y, x).
图1
【应用拓展】
(1）直接写出点A(1，4)关于直线y=x
的对称点A₁的坐标，关于直线y=x+1
的对称点A₂的坐标；
图2
(2）如图2，求直线y=2x-1关于直线
y=x+1的对称直线的解析式；
图3
(3）如图3，已知二次函数y =x²-2x-3的
图象记为W₁，W₁关于直线y=x对称的图象
记为W₂，求图象W₁与W₂的公共点的坐标;
图4
(4）如图4，已知反比例函数y=2/x的图象记为G₁, G₁关于直线y=x+1对称的图象G₂的解析式为
y=(x+3)/(x+1)，
当直线y=-2x+b与图象G₁，G₂有且只有两个公共点时，直接写出b的取值范围．
【解析】(1) A₁(4，1), A₂(3，2)，
(2）如图5，设点B与点B'关于直线
y=x +1对称，过点A作AC⊥x轴于点C ，
过点B'作B'D//y轴，
过点A作AD⊥B'D于点D，
图5
求得点A(2，3)，点B(1/2，0)，
∴ AC=3，BC=3/2,
∴点B'(-1，3/2)，
求得直线AB'的解析式为
y=1/2x+2；
(3）设图象W₁上任意一点P(x，y)与点
P'关于直线y=x对称，
则点P'的坐标为(y，x)，
由题意知，
点P和点P'都在图象W₁上，
把坐标代入解析式，
y =x²-2x-3①，
x =y²-2y-3②，
①-②，整理得
（x-y)(x+y-1)=0，
∴ x-y=0，
或 x+y-1=0，
当 x-y=0时，
y = x ,
∴x=x²-2x-3,
解得 x=(3±√21)/2，
∴P₁((3+√21)/2，(3+√21)/2),
P₂((3-√21)/2，(3-√21)/2)，
当 x+y-1=0时，
y=1-x,
∴1-x=x²-2x-3,
解得 x=(1±√17)/2，
∴P₃((1+√17)/2，(1-√17)/2)，
P₄((1-√17)/2，(1+√17)/2)，
综上所述，图象W₁与W₂的公共点的
坐标为((3+√21)/2，(3+√21)/2)
或((3-√21)/2，(3-√21)/2)
或((1+√17)/2，(1-√17)/2)
或((1-√17)/2，(1+√17)/2)；
(4) b的取值范围为
﹣5≤b<-4或3<b≤4 .
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