(1)2025年中考上海市
杨浦区三模数学第25题
如图1，已知在△ABC中，AB=AC , D是
在AC上的一点（不与点 A、C 重合）,
E是边BC延长线上一点，BD=DE，延长
ED交边AB于点F .
图1
(1）求证：∠ADF=∠ABD ；
(2）如果EF⊥BF ，且CD/AC=1/3，
求∠E的余切值；
(3）连接CF，当BD平分CF时，
求CD/BF的值．
【解析】(1）∵在△ABC中，
AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB ，
∵在△BDE中，
BD=DE ，
∴∠DBE=∠DEB ，
∵∠EDC+∠DEB=∠ACB ,
∠ABD+∠DBE=∠ABC，
∴∠EDC+∠DEB=∠ABD+∠DBE，
∴∠EDC=∠ABD ，
∵∠EDC=∠ADF，
∴∠ADF=∠ABD；
(2）过点A作AN⊥CB于点N，如图2，
图2
∵在△ABC 中，
AN⊥CB， AB=AC ，
∴BN=NC=1/2CB，
∠ABC+∠BAN=90°,
∠BAN=∠CAN，
∵EF⊥BF，
∴∠ABC+∠E=90°，
∴∠BAN=∠E ，
∵∠DBE=∠DEB，
∠BAN=∠CAN，
∴∠DBE=∠CAN=∠E ，
又∵∠BCD=∠ACN ，
∴△BCD∽△ACN ，
∴BC/AC=BD/AN=CD/CN，
∵BN=NC=1/2CB，
CD/AD=1/3，
∴2CN/(3CD)=CD/CN，
∴2CN²=3CD²，
∴ CD=√6/3CN ，
∴AC=3CD=√6CN，
在Rt△ACN中，
AN=√(AC²-CN²)
∴AN=√(AC²-CN²)
=√5CN，
∴cot∠CAN=AN/NC
=√5CN/NC
=√5，
∴cot∠E=√5；
(3）过点F作FN//CD，
交BD于点N,
BD与FC交于点O，如图3，
∵BD平分CF ,
∴FO=OC ，
∵FN//CD ，
∴∠FNO=∠CDO ,
∠NFO=∠DCO ，
又∵FO=OC ,
∴△FNO≌△CDO (ASA)，
∴FN=CD,
设AB=AC=1,
CD/BF=t，t＜1，
∵FN//CD ,
∴△BFN∽△BAD ，
∴FN/BF=AD/AB，
∴AD=FN/BFxAB=t ,
∴CD=AC-AD
=1-t，
即 FN=CD=1-t,
∵FN/BF=t ,
∴BF=(1-t)/t，
∴AF=AB-BF
=1-(1-t)/t
=(2t-1)/t，
∵∠ADF=∠ABD，
∠A=∠A ，
∴△ADF∽△ABD ,
∴AD/AB=AF/AD ，
∴t/1=[(2t-1)/t]/t，
整理得
t³=2t-1,
t³-1=2t-2，
(t-1)(t²+t+1)=2(t-1),
∵t<1,
∴t²+t+1=2，
解得 t=(√5-1)/2，(负值舍去），
经检验，t=(√5-1)/2，
是原方程的根，
∴ CD/BF=(√5-1)/2 .
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