这是2025宿迁中考第28题，以动点最值为主题的几何综合题，属于压轴题。该题涉及矩形中的十字架模型、全等三角形、等边三角形、直角三角形、瓜豆原理等，逻辑链条比较长，有很大难度。下面是该题的解析，供参考。
【2025宿迁中考-28】如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，. 线段的垂直平分线分别交直线于点.
（1）直接写出, ________.
（2）当时，求的值；
（3）如图2，连接并延长交直线于点.
① 求证：；
② 如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值。
图1
图2
图3
思路解析
（1）像几乎所有中考试卷最后一道压轴题一样，第一小题是简单的。
在中，. 所以，，.
至于求比值的问题，我们先观察这个小题的图形。感觉似曾相识吗？在学习正方形时，我们经常见到“相交垂线段”问题（即所谓“十字架”模型）。这里不同的是，题目中是矩形，不是正方形，但处理方法是类似的。
在解答正方形相交垂线段问题时，我们的做法是构造全等直角三角形。而这里，我们需要过点作交于，以便构造相似的直角三角形。
容易证明：，
易得，.
（2）先列出已知条件及可由已知条件得出的直接结论
，，易知 .
由（1）中的结论可得，.
现在看看要求的量。已经得到了，如果能计算出就好了。
在中，，.
易得 ，即.
由此，我们不仅得到了要求的结果，还知道.
（3）该小题有一定难度。
① 分析、梳理解题思路有两个出发点或方向，一是由已知条件到结论，另一个是由结论回推需要满足的条件。二者都是常用的方法，这里我们用回推方法来分析。
证明两条线段相等有多种方法，构造全等三角形是最常见的一种。这里，过点作的平行线是构造全等三角形的典型方法，如下图所示。
容易证明:.
所以，.
再利用（2）得到的结论，可得.
可以证明：.
所以，.
② 现在我们来分析求线段的最小值的问题。
显然，这是一个定点（点）和一个动点（点）之间线段的最小值问题，关键在于确定动点的轨迹。
先来看看，动点是随哪个点的变化而变化的？是点.
那么，它们之间符合瓜豆原理吗？瓜豆原理要求：主动点和从动点到同一个定点的线段夹角为定值，线段长度之比为定值。
我们梳理一下条件：
是的垂直平分线，，，并且根据前面已经证明的结论：.
根据这些条件容易证明，和是两个全等的等边三角形。
到这里，我们已经知道，从动点和主动点之间符合瓜豆原理，定比为2，定角为60°。主动点的轨迹为线段，因而从动点的轨迹也是线段，且与成60°角。稍作分析即可知道，点在从动点的轨迹上。
怎么证明从动点的轨迹就是这条线段呢？
一种方法是利用相似三角形证明瓜豆原理。下面看另一种方法。
连接.
在中，. 所以，.
前面已知 和是两个全等的等边三角形，
因此，，由此可知.
由于，所以.
由此可知，点在与CD成30°角的直线（一条线段）上。
所以，的最小值为：.
顺便谈几句，偶尔务点虚也是很有意义的。我们知道，一道题的难度取决于多个方面，包括：知识的广度，即涉及的知识点数量、是否跨模块、跨多少模块等，几何综合、代数综合、几何代数综合通常涉及多个知识点，也意味着题目可能具有很高的难度；逻辑链条的长度，即涉及多少步推理，一般认为5步以上的推理意味着压轴题的难度；计算的复杂度；相关概念的熟悉程度，如果题目涉及新定义、新概念，题目难度可能会陡增；是否情境、应用题，有时候理解这类题目本身就具有很大的挑战性。处理这些问题的能力提高了，成绩自然就上去了。分析问题、解决问题的能力不是人的天赋神通，需要认真的、长期的训练。刻意练习是提升解题能力的有效途径。
