竞赛真题练习

题目 1

设函数  在  上可微，且满足 ，同时存在常数 ，使得对任意 ，有

证明：在  上恒有 。

证明过程

1. 第一步：先证  在区间  上恒为 0设 ，使得

   由拉格朗日中值定理，存在 ，使得

   结合  与题设条件 ，得

   又因为 ，代入上式得

   移项得 ，故必有 。 因此，对所有 ，均有 。

2. 第二步：递推证明在整个  上恒为 0对任意正整数 ，考虑区间 。 令 ，则 ，且满足同样的条件 。 由第一步的结论， 在  上恒为 0，即  在  上恒为 0。

   综上，对任意 ，均有 。

题目 2

设函数  在  上具有连续导数，满足

且 。证明：存在常数 ，使得对任意 ，恒有 。

证明过程

1. 第一步：分析  的单调性与极限由题设方程，，因此  是  上的严格增函数。 故极限  存在（有限或为 ），只需证明  为有限数。

2. 第二步：分离变量并积分记 ，将方程分离变量得：

   计算左边的不定积分：

   右边的不定积分记为 ，合并常数项得：

   其中常数 。

3. 第三步：反证法证明  有限假设 ，则对上述等式两边取  的极限：

   因此有 。

   另一方面，令函数 ，求导得：

   故  在  上严格单调递增。由 ，得：

   但容易验证 ，与上式矛盾。因此假设不成立， 必为有限数。

• 左边：
• 右边：

4. 第四步：构造上界 由于  在  上严格递增且极限为有限数 ，故对任意 ，有 。 取 ，则对所有 ，恒有 。