知识导图
知识点总结
一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
一次函数的图象与性质
知识点一：一次函数的图象特征及性质
知识点二：一次函数图象
图象关系 | 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 |
图象确定 | 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(-b/k，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. |
常见的变换方式：
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
知识点三：k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
知识点四：两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2)当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
知识点五：用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
知识点六：正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 | 一次函数 | ||
区别 | 一般形式 | y=kx+b（k是常数，且k≠0） | y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） |
图象 | 经过原点的一条直线 | 一条直线 | |
k，b符号 的作用 | k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 | k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 | |
求解析式 的条件 | 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 | 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 | |
联系 | 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． |
一次函数与方程（组）、不等式
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
一次函数的应用
1.一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值题型总结
题型01 一次函数的定义
题型02 判断一次函数的图像
题型03 正比例函数的性质
∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，
∴k<0
∴y随x的增大而减小．
故选：A．
题型04探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
在平面直角坐标系中，若一次函数y=x+a-1的图象经过第二象限，则一次函数y=ax-a一定不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：∵一次函数y=x+a-1的图象经过第二象限，
∴a-1>0，
解得a>1，
∴-a<-1，
∴一次函数y=ax-a的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
题型06 求一次函数解析式
在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为cm，
题型07一次函数与坐标轴交点问题
题型08与一次函数有关的规律探究问题
题型09与一次函数有关的新定义问题
题型10 探究一次函数与方程、不等式的关系
如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为．
题型11 与一次函数有关的动点问题
题型12一次函数的应用（略）
一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键.
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