“老师，这道题要我选哪种方案最省钱，我算了半天，不知道怎么比。”
我看了看题，告诉他：方案选择问题，核心就是“列式子、比大小”。今天把这章的核心方法整理出来。
一、方案选择问题的常见类型
三种优惠方式的比较是最常考的。打折、满减、会员卡——哪个更划算？取决于你买多少。临界值就是两种方案价格相等时。
二、解题三步法
第一步：设未知数
设购买数量为x，或使用时间为t。
第二步：列出每种方案的费用表达式
①方案A：y₁ = ...
②方案B：y₂ = ...
③方案C：y₃ = ...
第三步：比较大小，求临界值
令 y₁ = y₂，解出x。当x小于临界值时选A，大于临界值时选B。
三、经典例题
例题1：优惠方案选择
某超市促销：方案A：打8折；方案B：满100减20。小明要买一件标价x元的商品（x>100），选哪种方案更省钱？
解：
方案A：y₁ = 0.8x
方案B：y₂ = x - 20×⌊x/100⌋，当100≤x<200时，y₂ = x - 20
令0.8x = x - 20 → 0.2x = 20 → x = 100
当x=100时，两种方案一样；当x>100时，0.8x < x-20？检验x=150：0.8×150=120，x-20=130，0.8x更小，所以方案A更省钱。
答案：x>100时，方案A更省钱（实际需要分段讨论，这里简化，当100<x<200时，0.8x < x-20成立）
例题2：租车问题
某校组织春游，共有师生200人。有两种客车：甲型车每辆可载40人，租金200元；乙型车每辆可载30人，租金150元。要使所有师生都有座位，且租金最低，应如何租车？
解：
设租甲型车x辆，乙型车y辆。
约束条件：40x + 30y ≥ 200，x、y为非负整数。
总费用：C = 200x + 150y
从约束条件得y ≥ (200-40x)/30
代入费用表达式，结合x取整数，逐一检验，找出费用最小的组合。
枚举：x=0→y≥6.67，取y=7，费用=1050
x=1→y≥5.33，取y=6，费用=200+900=1100
x=2→y≥4，取y=4，费用=400+600=1000
x=3→y≥2.67，取y=3，费用=600+450=1050
x=4→y≥1.33，取y=2，费用=800+300=1100
x=5→y=0，费用=1000
答案：租2辆甲型车、4辆乙型车，费用最低为1000元
例题3：购票问题
某景点门票价格：成人票100元/张，学生票50元/张。10人以上（含10人）可买团体票，每人80元。现有8名老师和若干名学生，怎样购票最省钱？
解：
设学生人数为x。总人数 = 8 + x
情况一：不买团体票
费用 = 8×100 + 50x = 800 + 50x
情况二：买团体票（总人数=8+x）
费用 = (8+x)×80 = 640 + 80x
令800+50x = 640+80x → 160 = 30x → x ≈ 5.33
所以：
①当x < 5.33（即x≤5）时，800+50x < 640+80x，不买团体票更省钱
②当x > 5.33（即x≥6）时，800+50x > 640+80x，买团体票更省钱
③当x=5时，人数=13，已经超过10人，可以买团体票，但需要比较两种方式谁更便宜
当x=5时：不买团体票=800+250=1050，买团体票=13×80=1040，团体票更便宜。所以当x≥5时，就可以考虑团体票了。
答案：学生人数少于5人时不买团体票；学生人数大于等于5人时买团体票更省钱。
四、注意事项
坑1：忘记考虑实际情况
租车问题的解必须是整数，不能是分数。
坑2：临界值算错
比较两种方案时，令y₁=y₂解出的x是临界点。但有时需要分段讨论，不能只看一个点。
坑3：忽略隐含条件
比如人数不能为负、件数必须是整数。
写在最后
方案选择问题，考的是“应用能力”。不是会不会算，是能不能把生活问题变成数学问题。
列式子、比大小、找临界值——这三步走对了，答案就出来了。方案选择问题不难，但需要细心。把不等式和方程结合好，这类题就是送分题。
如果孩子还在应用题上卡住，可以先从“列式子”开始练。式子列对了，题就做了一半。
