《日期》每日真题 | 2017年新课标ⅱ理科高考 第96题
一、题目
已知双曲线 C: x²/a² - y²/b² = 1 (a>0, b>0) 的一条渐近线被圆 (x-2)² + y² = 4 所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 2
B. √3
C. √2
D. 2√3/3
二、读题与切入点
拿到这道题，第一眼要敏锐地捕捉到三个核心对象：双曲线、它的渐近线、以及一个已知圆。题目将“直线截圆得弦长”这一经典平面几何模型，与双曲线的离心率求法巧妙嫁接。
切入点非常明确：弦长问题，本质是“圆心到直线的距离”问题。只要我们能写出渐近线方程，算出圆心到该直线的距离，再利用直角三角形中“半径、半弦长、弦心距”的勾股关系，就能迅速建立起关于 a、b 的等式。最后，结合离心率 e = c/a 以及双曲线的基本关系 c² = a² + b² 进行转化。打通这三步，题目便迎刃而解。
三、完整解题思路
第一步，明确几何要素。圆的方程为 (x-2)² + y² = 4，直接读出圆心坐标为 (2, 0)，半径 r = 2。双曲线 x²/a² - y²/b² = 1 的渐近线方程为 y = ±(b/a)x，整理成一般式即为 bx ± ay = 0。由于双曲线关于坐标轴对称，两条渐近线到圆心的距离相等，我们只需任取一条，例如 bx + ay = 0。
第二步，利用弦长求弦心距。题目给出弦长为 2，根据圆的垂径定理，半径、半弦长与弦心距构成直角三角形。半弦长为 2/2 = 1，半径为 2，因此圆心到渐近线的距离 d = √(2² - 1²) = √3。
第三步，代入点到直线距离公式。圆心 (2, 0) 到直线 bx + ay = 0 的距离公式为 d = |2b + a×0| / √(b² + a²)。结合上一步的结果，我们得到等式：
|2b| / √(a² + b²) = √3。
两边平方去根号，整理得 4b² / (a² + b²) = 3。
第四步，转化为离心率。在双曲线中，c² = a² + b²，且离心率 e = c/a。将分母整体替换为 c²，分子 b² 替换为 c² - a²，等式变为：
4(c² - a²) / c² = 3。
等式两边同除以 a²，利用 e = c/a 的关系，得到 4(e² - 1) / e² = 3，即 4e² - 4 = 3e²，解得 e² = 4。因为双曲线离心率 e > 1，所以 e = 2。
四、易错点与拓展
这道题看似步骤精简，但考场中失分率并不低，主要集中在三个细节：
- 渐近线方程记反。双曲线焦点在 x 轴时，渐近线是 y = ±(b/a)x，很多同学会惯性记成 y = ±(a/b)x，导致后续全盘皆错。
- 距离公式计算失误。点到直线距离的分母必须是 √(A²+B²)，计算时容易忘记开根号，或者在平方消去根号时漏掉系数 4。
- 离心率转化不熟练。从 a、b 的关系式跳到 e 时，没有果断使用 b² = c² - a² 进行整体代换，而是试图解出 a、b 的具体值，反而陷入死胡同。
通法总结：凡是遇到“圆锥曲线中的直线截圆得弦长”问题，一律采用“几何法优先，代数法辅助”的策略。先画草图，利用垂径定理求弦心距，再用距离公式列方程。最后统一向离心率 e 靠拢。这种“以形助数”的思维，是破解解析几何小题的利器。平时练习时，务必养成“先画图、再列式”的习惯，避免盲目代数运算。
五、小工具推荐
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