前言

之前已经给大家更新过好几道哈工大26考研的数分真题解析了，今天我们再来看今年考的两道经典证明题，其中一道复旦竟然也考过，值得大家重视哦！

虽然清北和复旦现在不招收数学系学硕统考研究生了，但之前的一些经典题目真的可能以原题或改编题的形式出现在一些顶尖名校的考研真题中哈！这点大家还是要注意的，因为像清北复之前考的真题都是极其经典的。

哈尔滨工业大学2026年数学分析考研真题

第一题（误差极限计算题）

题目

设  在  上连续可微，令

求极限 .

解析

首先将  改写成积分与求和之差的分段形式，有

对每个子区间  应用拉格朗日中值定理，对于 ，存在 ，使得

记 ，. 因为当  时 ，所以有

即

在上式两端从  到  积分，并注意到

得到

代入  式，并乘以  后对  求和，有

由于  在  上连续，从而可积，根据定积分的定义，当  时，

在  式中取上下极限，由迫敛性即得

碎碎念：这种误差极限类的题目真的属于高频考题了，无论是在竞赛中还是考研中都经常出现，处理的思路也都极其类似。

第二题（数项级数的敛散性判别）

题目

讨论级数

（）的敛散性。

解析

记原级数的通项为

也可等价地将相邻两项加括号，考虑级数 ，其中

按参数  讨论如下.

若  且 . 此时

因为 ， 收敛，由比较判别法知原级数绝对收敛。

若  且 . 考虑加括号后的级数 .

由于  发散（），而  收敛（），故

发散。加括号后的级数发散，则原级数必发散。

根据对称性， 且 同理。

若 . 此时 ，并且

因为 ，有

故

从而

由  知  发散，故  发散，进而原级数发散。

 的情况完全对称，同样得到发散。

若 . 此时级数变为

即交错  级数。因为 ，通项的绝对值  递减且趋于零，由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛。又当  时绝对值级数  发散，故此时原级数条件收敛。

综上所述，有

碎碎念：这道题复旦之前也考过，值得大家重视哦！遇到这种讨论题，一定一定是可以拿分的，因为你可以讨论做简单的一种情况，这也算是一种隐藏的得分技巧！