(50)2025年中考吉林省
松原市前郭县二模数学第22题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
y=-x²+bx
经过点(4，0)，点A，B为该抛物线上
两点，点B在抛物线对称轴的左侧，点
A的横坐标为m，点B的横坐标为m-5，
过点B作y轴的垂线交抛物线于点C，以
AC，BC为邻边作平行四边形ACBD .
图1
(1）求抛物线
y=-x²+ bx
的解析式及顶点坐标；
(2）将此抛物线上A，B两点之间的部分
记为图象G，当图象G的最大值与最小值
的差为8时，求m的值；
(3）当ACBD的顶点落在抛物线
y=-x²+bx
的对称轴上时，求线段AD的长度；
(4）抛物线在平行四边形ACBD内部的
图象的函数值y随x的增大而增大时，直
接写出m的取值范围．
【解析】(1）∵抛物线
y=-x²+bx
经过点(4，0),
∴-4²+4b=0,
解得， b =4,
∴抛物线的解析式为
y=-x²+4x,
顶点坐标的横坐标为
-4/[2x(-1)]=2，
纵坐标为
﹣2²+4x2=4．
∴顶点坐标为(2，4)；
(2）∵点A，B为该抛物线上两点，
点B在抛物线对称轴的左侧，
点A的横坐标为m ，
点B的横坐标为m-5,
∴把m代入得，
y=-m²+4m，
把m-5代入得，
y=-(m-5)²+4(m-5)
=-m²+10m-25+4m-20
=-m²+14m-45,
∴A(m，-m²+4m),
B(m-5，-m²+14m-45),
①当m<2时，
在点A处取得最大值，
在点B处取得最小值，
∴(-m²+4m)-(-m²+14m-45)=8，
整理得，10m=37,
解得， m=3.7>2，
不符合题意，舍去；
②当m=2时，
函的最大值是为4，
最小值为
﹣2²+14x2-45=-21
∵4-(-21)=25≠8，
不符合题意，舍去；
③点A，B在对称轴异侧时，
点A，B的中点的横坐标为
(m-5+m)/2=m-5/2 ,
当m-5/2<2时，即m<4.5，
函数的最大值是为4，
函数的最小值为
﹣m²+14m-45,
∴4-(-m²+14m-45)=8，
整理得，m²-14m+41=0,
解得 m₁=7-2√2<4.5,
m₂=7+2√2>4.5（不符合题意，舍去),
∴ m=7-2√2，
当m-5/2>2时，即m>4.5，
函数的最大值是为4，
在点A处取得最小值，
即最小值为﹣m²+4m，
∴4-(-m²+4m)=8，
整理得，m²-4m-4=0.
解得 m₃=2+2√2>4.5,
m₄=2-2√2<4.5(不符合题意，舍去),
∴m=2+2√2
综上所述， m的值为
2+2√2或7-2√2；
(3）抛物线
y=-x²+4x
的对称轴直线为 x=2,
过点B(m-5，-m²+14m-45)作y轴
的垂线交抛物线于点C ,
∴BC//x轴，
∴点B，C关于直线x=2对称，
且纵坐标相等，
即点C的纵坐标为
﹣m²+14m-45,
∴点C的横坐标为
(m-5+xC)/2=2,
解得， xC=9-m，
即C(9-m，-m²+14m-45)，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BC//AD, BC=AD ,
如图2所示，点D在抛物线的对称轴
直线上，
则点D的横坐标为2，
图2
纵坐标与点A的纵坐标相等，
即D(2，-m²+4m),
∴AD=m-2=BC ,
∴xC-(m-5)= m -2,
∴xC=2m-7,
∴C(2m-7，-m²+14m-45)，
∴9-m=2m-7,
解得 m=16/3，
∴AD=m-2=16/3-2=10/3，
如图3所示，点A在抛物线的对称轴
直线上，
图3
则点A的横坐标为2，
即m=2,
∴ m-5=2-5=-3，
即点B的横坐标为﹣3,
∵点B关于对称轴直线x=2的对称点
C的横坐标xC，
∴ (-3+ xC)/2=2,
解得， xC=7,
∴BC=7-(-3)=10,
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AD=BC=10，
综上所述， AD 的长为10/3或10；
(4）由⑶的图示可得，
当点A在BC下方时，
抛物线不在平行四边形ACBD内部，
∴抛物线在平行四边形ACBD内部时，
点A在 BC 上方，
∴点A，B的中点的横坐标为
(m-5+m)/2<2,
解得， m<9/2 .
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