2026年中考冲刺
每日一题 | 中考培优
九年级的同学注意！圆的综合题是中考数学必考大题，也是一模、二模的高频考点，同时是学生在中档题中最容易得0分或丢分的题，很多同学卡在证明、相似、计算三步。
今天给大家带来2026年赣州市于都县一模真题T20，一道非常经典的与圆有关的位置关系综合题，涵盖切线证明、相似三角形、方程求解，吃透这道题，同类题直接稳拿分！
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📝 今日题目
（2026·赣州一模T20）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AC＝8，AF＝12，求BD的长．
✅ 答案与解析
（1）证明：由题意可得：
∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
💡（第1问）多思路拓展
切线的判定 →①有半径证垂直；②无半径，作垂直证半径，由题意可知，此题属于有半径证垂直，关键是如何证明垂直
思路1：利用圆的性质和平行进行转化，如上述解答过程，同时也可以如下转化：
思路2：垂直平分线的判定与性质
（2）∵AB＝AC＝8，AF＝12，
∴BF＝AF﹣AB＝4，
由题意可得：∠ADF＝90°，∠ABD＝90°，∠F＝∠F，
∴∠BAD＝∠BDF
∵∠ABD＝∠DBF＝90°
∴△FBD∽△DBA，
∴ BF/BD = BD/AB
代入得：4/BD = BD/8，∴ BD²＝32，BD＝4√2（负值舍去）．
💡 （第2问）多思路拓展
思路1：相似三角形（最简） → 直接用相似列比例式（上述解答过程）
思路2：三角函数 → tan∠DAB=tan∠BDF，等量代换求解
思路3：勾股定理 → 设BD=x，在Rt△ADF中列方程求解
📌 考点+易错点总结
核心考点：切线判定、圆周角定理、等腰三角形、相似三角形易错提醒：1. 切线判定需证明垂直+半径，缺一不可；2. 相似三角形对应边易找错，需严格对应角匹配；3. 根式结果需化为最简二次根式。
这道一模真题非常贴合中考考情，建议九年级同学收藏起来反复练，同类题型在中考中占比极高，吃透一道，掌握一类！
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