专题16 全等三角形判定与性质定理
复习目标
1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
考点梳理
一、基本概念
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等.
特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.
3.全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．
【答案】
证明：
（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，
∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．
二、灵活运用定理
三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．
应用三角形全等的判别方法注意以下几点：
1. 条件充足时直接应用判定定理
在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．
2. 条件不足，会增加条件用判定定理
此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．
3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理
在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.
【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,
在△BDE和△CDM中，
∴△BDE≌△CDM（SAS）．
∴BE=CM.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．
在△EDF和△MDF中
∴△EDF≌△MDF（SAS）,
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,
∴BE＋CF＞EF.
三、常见的几种辅助线添加
①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；
②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．
例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.
【答案】
证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，
∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中
∴ △ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴ ∠HAE=∠AFE，又∵ ∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．
