专题17 等腰、等边三角形
复习目标
1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；
2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；
3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；
4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；
考点梳理
一、等腰、等边三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半
【答案】B.
【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-1/2(180-∠A)=1/2∠A，
例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=cm．
【答案】32;
【解析】
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=30，DE=2，
∴DM=28，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=14，
∴BN=16，
∴BC=2BN=32，
故答案为32．
二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
【答案】
(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD； (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴1/2(∠BAC+∠ABC)=45°∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠BAP=1/2∠BAC，∠ABP=1/2∠BAC即∠BAP+∠ABP=45°∴∠APB=180°-45°=135° 解法二：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴1/2(∠BAC+∠ABC)=45°∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠DBC=1/2∠ABC，∠PAC=1/2∠BAC∴∠DBC+∠PAD=45°∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.
