《2024 年 6 月 20 日》每日真题 | 2024 年全国中考
一、题目
如图，在正方形纸片 ABCD 上有一点 P，已知 PA=1，PD=2，PC=3。现将△PCD 剪下，并按图示方式拼接（其中点 C 与点 A 重合，点 P 与点 G 重合，点 D 与点 D 重合）。求线段 PG 的长度。
二、读题与切入点
这道题是典型的几何变换综合题。看到“正方形”和“剪拼”这两个关键词，同学们脑海中应该立刻浮现出两个核心工具：全等变换和旋转模型。
题目中描述的操作，本质上是将△PCD 绕点 D 逆时针旋转 90° 到了△GAD 的位置。因为正方形的边 AD=CD，且夹角∠ADC=90°，这种共顶点的等线段结构，是旋转法的最强信号。
解题的关键不在于求出点 P 的具体坐标，而在于利用拼接后的新图形，构造出一个特殊的三角形，从而利用勾股定理求解。
三、完整解题思路
第一步：挖掘拼接背后的全等关系
根据题意，△PCD 被剪下后拼接到了△GAD 的位置。
这意味着两个三角形完全重合，即△PCD ≅ △GAD。
由全等性质可得对应边相等：
GD = PD = 2
AG = PC = 3
同时，对应角也相等：∠ADG = ∠CDP。
第二步：推导关键角度∠PDG
我们需要判断△PDG 的形状。观察角∠PDG 的组成：
∠PDG = ∠PDA + ∠ADG
因为刚才得出∠ADG = ∠CDP，所以我们可以进行等量代换：
∠PDG = ∠PDA + ∠CDP
观察图形可知，∠PDA 和∠CDP 恰好组成了正方形的一个内角∠ADC。
因为 ABCD 是正方形，所以∠ADC = 90°。
因此，∠PDG = 90°。
第三步：计算线段 PG 的长度
现在我们要关注△PDG。
已知 PD = 2，GD = 2，且夹角∠PDG = 90°。
这说明△PDG 是一个等腰直角三角形。
根据勾股定理：
PG² = PD² + GD²
PG² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8
所以，PG = √8 = 2√2。
（注：题目中给出的 PA=1 在此问中虽未直接参与 PG 的计算，但可用于验证△PAG 是否为直角三角形，1² + (2√2)² = 9 = 3²，符合逻辑。）
四、易错点与拓展
易错点：忽视角度的转化
很多同学算出了 GD=PD=2，但卡在无法证明∠PDG 是直角上。切记，正方形的 90° 角是解题的枢纽，必须通过“角之和”的方式，将分散的角集中到一个顶点处。
拓展：正方形中的旋转模型
本题属于“正方形内一点”的经典模型。当题目出现正方形内部一点连接到三个顶点，且给出三段线段长度时，通常策略是将其中一个三角形绕正方形顶点旋转 90°。
这样做有两个好处：
- 将分散的线段集中到一个新三角形中。
- 构造出等腰直角三角形，便于计算边长或角度。
掌握这个“旋转 90° 造直角”的通法，能解决一大类几何压轴题。
五、小工具推荐
几何题千变万化，但核心模型往往有迹可循。就像今天这道题，一旦识别出“旋转模型”，解题路径就清晰了一半。
但在考场上，如何快速从复杂的图形中识别出这些模型？如何避免因为一步角度计算失误导致全盘皆输？这就需要平时的针对性训练和思路梳理。
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