中考冲刺卷(请跳过会的,不会的直接研究答案思路)

🤜几何模型180题

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的．从上面看到的几何体的形状图是（　　）

A．B．

C．D．

2．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km，将数字55000000用科学记数法表示为（　　）

A．550×10⁵B．55×10⁶

C．5.5×10⁷D．0.55×10⁸

3．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（　　）

A．42°B．48°C．58°D．84°

4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞﹣4B．|a|＞|b|

C．ab＞0D．﹣b＜a

5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．B．

C．D．

6．下列计算正确的是（　　）

A．a⁴+a⁴＝a⁸B．a³•a⁴＝a¹²

C．a⁸÷a²＝a⁶D．（3a²）³＝9a⁶

7．已知反比例函数的图象上有点A（2，y₁），B（1，y₂），C（﹣3，y₃），则关于y_1，y2，y3大小关系正确的是（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃B．y₂＞y₁＞y₃

C．y₁＞y₃＞y₂D．y₃＞y₁＞y₂

8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　）

A．B．C．D．    

9．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为（　　）

A．8B．11C．10D．13

10．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax²+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b²﹣4a+2024，则t的取值范围为（　　）

A．2023≤t≤2024B．2020≤t≤2021

C．2021≤t≤2022D．2022≤t≤2023

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．分解因式：a²﹣6a+9＝　　．

12．如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 　　．

13．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为　　．

14．若，则代数式的值是　．

15．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l_甲、l_乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（km）随时间t（分）变化的函数图象．乙出发 　　分钟后追上甲．

16．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝10，CF＝4，则线段EP的长是 　　．

三.解答题（本大题共10小题，共86分）

17．（6分）计算：

．    

18．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．

19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为对角线上BD上的点（DE＜DF），且BE＝DF，求证：∠AED＝∠CFB．

20．（8分）为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：

信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组50≤x＜60，第Ⅱ组60≤x＜70，第Ⅲ组70≤x＜80，第Ⅳ组80≤x＜90，第Ⅴ组90≤x＜100；

信息二：第Ⅲ组的成绩为74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．

根据信息解答下列问题：

（1）本次抽取的学生人数为 　　人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为 　　．

（2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是 　　分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是 　　分；

（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．    

21．（8分）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．

（1）求显示屏所在部分的宽度CM；

（2）求镜头A到地面的距离．

（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

（1）求证：∠ABD＝∠F；    

（2）若点E是OB的中点，且OE＝1，求线段BF的长；

23．（10分）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元．

（1）求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？

（2）村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集；

（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．    

25．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

26．（12分）【问题情境】：

（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 　　．

【类比探究】：    

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝2：3，连接DG、BE．

判断线段DG与BE有怎样的数量关系：　　，并说明理由；

【拓展提升】：

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求BG+BE的最小值．

答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的．从上面看到的几何体的形状图是（　　）

A．B．

C．D．

解：从上面看该几何体，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．

故选：B．

2．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km，将数字55000000用科学记数法表示为（　　）

A．550×10⁵B．55×10⁶

C．5.5×10⁷D．0.55×10⁸

解：55000000＝5.5×10⁷．

故选：C．

此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（　　）

A．42°B．48°C．58°D．84°

解：如图，

∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，

∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠3＝48°．

故选：B．

4．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞﹣4B．|a|＞|b|C．ab＞0D．﹣b＜a

解：由数轴可知：﹣5＜a＜﹣4，0＜b＜1，|a|＞|b|，

∴ab＜0，﹣b＞a，

∴只有B选项正确，

故选：B．

5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．B．

C．D．

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．

故选：C．

6．下列计算正确的是（　　）

A．a⁴+a⁴＝a⁸B．a³•a⁴＝a¹²

C．a⁸÷a²＝a⁶D．（3a²）³＝9a⁶

解：∵a⁴+a⁴＝2a^4，

∴选项A不符合题意；

∵a³•a⁴＝a^7，

∴选项B不符合题意；

∵a⁸÷a²＝a^6，

∴选项C符合题意；

∵（3a²）³＝27a^6，

∴选项D不符合题意，

故选：C．

．    

7．已知反比例函数的图象上有点A（2，y₁），B（1，y₂），C（﹣3，y₃），则关于y_1，y2，y3大小关系正确的是（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃B．y₂＞y₁＞y₃

C．y₁＞y₃＞y₂D．y₃＞y₁＞y₂

解：函数图象如下：

点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，

故y₁＞y₂；

点C在y轴的左侧，函数值y为正，

故y₃＞y₁＞y_2，

故选：D．

8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　）    

A．B．C．D．

解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，

∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）＝

故选：B．

9．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为（　　）    

A．8B．11C．10D．13

解：由题意得：∠ABE＝∠CBE，

∵ED∥BC，

∴∠DEB＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠BED，

∴DE＝BD，

∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝5+3＝8，

故选：A．

10．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax²+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b²﹣4a+2024，则t的取值范围为（　　）

A．2023≤t≤2024B．2020≤t≤2021

C．2021≤t≤2022D．2022≤t≤2023

解：由题意方程组只有一组实数解，

消去y得ax²+（b﹣1）x+1＝0，

由题意得Δ＝0，

∴（b﹣1）²﹣4a＝0，

∴4a＝（b﹣1）²，即a＝（b﹣1）^2，

∴方程ax²+（b﹣1）x+1＝0可以化为（b﹣1）²x²+（b﹣1）x+1＝0，

即（b﹣1）²x²+4（b﹣1）x+4＝0，

∴x₁＝x₂＝

∴C（），

∵点C在第一象限，

∴1﹣b＞0，

∵2≤[C]≤4，

∴2≤||+||≤4，

∴1≤≤2，

解得：﹣1≤b≤0，

∵t＝2b²﹣4a+2024，

∴t＝2b²﹣（b﹣1）²+2024＝b²+2b+2023＝（b+1）²+2022，

∵﹣1≤b≤0，

∴t随b的增大而增大，    

∵b＝﹣1时，t＝2022，

t＝0时，t＝2023，

∴2022≤t≤2023．

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．分解因式：a²﹣6a+9＝（a﹣3）²．

12．如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．

根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部

解：∵假设每个正方形的面积都为1，总面积为4，其中阴影部分面积为×4＝2，    

∴击中黑色区域的概率是＝．

13．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为　31.5°　．

解：由题意得：正八边形的每个内角都等于135°，正五边形的每个内角都等于108°，

故∠BAC＝360°﹣135°﹣108°＝117°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣117°）÷2＝31.5°．

14．若，则代数式的值是　﹣．

解：∵

∴设x＝2t，y＝3t，

∴＝＝＝﹣．

15．甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l_甲、l_乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（km）随时间t（分）变化的函数图象．乙出发 　6　分钟后追上甲．

解：根据图象得出：乙在28分时到达，甲在40分时到达，

设乙出发x分钟后追上甲，

则有：×x＝×（18+x），

解得x＝6，

16．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝10，CF＝4，则线段EP的长是 　13．

解：如图，作FH⊥PE于H．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝10，

∴AC＝10，∠ACD＝∠FCH＝45°，

∵∠FHC＝90°，CF＝4，

∴CH＝HF＝2

∵CE＝4AE，

∴EC＝8＝2

∴EH＝10    

在Rt△EFH中，EF²＝EH²+FH²＝（10）²+（2）²＝208，

∵∠GEF＝∠GCF＝90°，

∴E，G，F，C四点共圆，

∴∠EFG＝∠ECG＝45°，

∴∠ECF＝∠EFP＝135°，

∵∠CEF＝∠FEP，

∴△CEF∽△FEP，

∴＝

∴EF²＝EC•EP，

∴EP＝＝13．

三.解答题（本大题共10小题，共86分）

17．（6分）计算：

解：

＝1++×﹣

＝1++1﹣

＝2．    

18．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．

解：不等式组

由①得：x≤1，

由②得：x＞﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，

则不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．

19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为对角线上BD上的点（DE＜DF），且BE＝DF，求证：∠AED＝∠CFB．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴∠AEB＝∠CFD，

∵∠AED+∠AEB＝180°，∠CFB+∠CFD＝180°，

∴∠AED＝∠CFB．

20．（8分）为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：

信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组50≤x＜60，第Ⅱ组60≤x＜70，第Ⅲ组70≤x＜80，第Ⅳ组80≤x＜90，第Ⅴ组90≤x＜100；

信息二：第Ⅲ组的成绩为74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．

根据信息解答下列问题：

（1）本次抽取的学生人数为 　50　人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为 　72°　．

（2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是 　76　分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是 　78　分；    

（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．

解：（1）12÷24%＝50（人），

360°×（1﹣8%﹣8%﹣40%﹣24%）＝72°，

故答案为：50，72°；

（2）第Ⅲ组数据中出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，

将这50人的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，

故答案为：76，78；

（3）1500×（40%+8%）＝720（人），

答：该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数大约为720人．

21．（8分）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．

（1）求显示屏所在部分的宽度CM；

（2）求镜头A到地面的距离．

（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）

（1）解：∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，

∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为35°．

过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则∠DCM＝35°．

∵CD＝15cm，

∴CM＝CDcos∠DCM＝150.819≈12.3（cm），

（2）如图，连接AC，作AH垂直MC反向延长线于点H，

∵AB＝20cm，O为AB的中点，

∴AO＝10cm．

∵CD＝15cm，CE＝2ED，

∴CE＝10cm．

∵CD∥AB，OE⊥AB，

∴四边形ACEO为矩形，AC＝OE＝10cm．

∵∠ACE＝90°，

∴∠ACH+∠DCM＝∠ACH+∠CAH＝90°．

∴∠CAH＝∠DCM＝35°．

∴AH＝AC•cos35°＝10×0.819＝8.19（cm），

∴镜头A到地面的距离为60+8.19≈68.2cm．    

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

（1）求证：∠ABD＝∠F；

（2）若点E是OB的中点，且OE＝1，求线段BF的长；

（1）证明：∵BF与⊙O相切于点B，

∴∠ABF＝90°，

∴∠A+∠F＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DEB＝90，

∴∠D+∠ABD＝90°，

∵∠A＝∠D，

∴∠ABD＝∠F；

（2）解：连接OC，BC，

∵AB⊥CD，点E是OB的中点，

∴OB＝2OE＝2，CD是OB的垂直平分线，

∴OC＝BC，

∵OC＝OB，

∴OC＝BC＝OB，    

∴△OBC是等边三角形，

∴∠COB＝60°，

∴∠A＝∠COB＝30°，

在Rt△ABF中，AB＝2OB＝4，

∴BF＝＝＝

∴线段BF的长为．

23．（10分）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元．

（1）求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？

（2）村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？

解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，

根据题意得：    

解得：

答：种植A种蔬菜每亩收入0.4万元，B种蔬菜每亩收入0.6万元．

（2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，

根据题意得：w＝0.4m+0.6（250﹣m）＝﹣0.2m+150，

∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，

∴m≥1.5（250﹣m），

解得：m≥150，

又w＝﹣0.2m+150，﹣0.2＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝150，w取得最大值，w＝﹣0.2×150+150＝120（万元），

∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元．

答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元．．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集；

（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．    

解：（1）∵反比例函数图象y＝  过B（4，2），

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数的表达式为：y＝

把A（a，4）代入 y＝得：a＝＝2，

∴A（2，4），

∵一次函数y＝mx+n的图象过点A，点B，

∴

解得：

∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）观察函数图象可得，当x＞0时，当2≤x≤4时，y＝mx+n的图象在y＝的图象上方，

∴﹣x+6≥的解集为：2≤x≤4；

（3）存在，    

∵A（2，4），

∴直线OA的解析式为：y＝2x，

∵过点B（4，2）作BD平行于x轴，交OA于点D，

∴D（1，2），

∴BD＝4﹣1＝3，

当四边形ODBP是平行四边形时，

∴DB＝OP＝3，

∴点P（3，0），

当四边形OBDP是平行四边形，

∴DB＝OP＝3，

∴点P（﹣3，0），

综上所述：点P（3，0）或（﹣3，0）．

25．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．    

解：（1）令x＝0，则y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0，则x＝6，

∴C（6，0），

将A（0，3），C（6，0）代入y＝x²+bx+c，

∴

∴

∴y＝﹣x²+x+3；

（2）连接OM，如图1，    

设M（x，﹣），

令y＝0，得

解得：x＝﹣2或x＝6，

∴B（﹣2，0）；

S_{四边形ABCM}＝S_△ABO+S_△AOM+S_△OCM

＝×3×2+x×3+×2（）

＝x²+x+12

＝（x﹣3）x²+

∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为；此时M的坐标为（3，）；

（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，如图2：

∴PO'＝PO＝m，O'A'＝OA＝3，

∴O'（m，m），A'（m+3，m），    

当点A'（m+3，m）在抛物线上时，得：（m+3）²+（m+3）+3＝m，

解得：m＝﹣3±2；

当点O'（m，m）在抛物线上时，得：m²+m+3＝m，

解得：m＝±2；

∴当﹣3﹣2≤m≤﹣2或﹣3+2≤m≤2时，线段O'A'与抛物线只有一个公共点．

26．（12分）【问题情境】：

（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 DG＝BE；　．

【类比探究】：

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝2：3，连接DG、BE．

判断线段DG与BE有怎样的数量关系：DG＝BE，并说明理由；

【拓展提升】：

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求BG+BE的最小值．    

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝BC，∠BCD＝90°，

∵四边形CEFG是正方形，

∴CG＝CE，∠GCE＝90°，

∵∠BCE+∠ECD＝∠DCG+∠ECD＝90°，

∴∠BCE＝∠DCG，

在△DCG和△BCE中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴DG＝BE，    

故答案为：DG＝BE；

（2）判断：DG＝BE，理由如下：

∵四边形CEFG是矩形，四边形ABCD是矩形，

∴∠ECG＝∠BCD＝90°，CD＝AB，

∴∠DCG＝∠BCE，

∵CG：CE＝2：3，AB＝4，BC＝6，

∴

∴△DCG∽△BCE，

∴

∴DG＝BE；

故答案为：

（3）如图，过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GL⊥BC交BC的延长线于点L，则∠CKE＝∠CLG＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BCD＝∠DCL＝90°，∠A＝90°，

∵△DCG∽△BCE，

∴∠DCG＝∠BCE，    

∵∠DCG+∠GCL＝90°，∠BCE+∠CEK＝90°，

∴∠GCL＝∠CEK，

∵∠CKE＝∠CLG，

∴△GCL∽△CEK，

∴

∵EK＝AB＝4，

∴

∴点G的运动轨迹是直线GL，

作点D关于直线GL的对称点G′，则DG＝GG′，

∴当点B，G，G′三点同一直线时，BG+DG的值最小，即为BG′，

由（2）得DG＝BE，

∴BE＝DG，

∴BG+BE＝BG+DG＝（BG+DG），

∴BG+BE的最小值为 （BG+DG）的最小值，即 BG′，．

∵＝BC＝6，

∴AG′＝AD+DG′＝6+＝

∴BG′＝＝＝

∴BG′＝5

∴BG+BE的最小值为5 ．

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