看见数学・高考真题解析:2022年新高考1第7题(指对比大小)的多种解法汇总

年份: 2022 

卷区: 新高考I卷 

题号: 7

 题型: 选择题 

分值: 5 

知识点:

• 导数在研究函数单调性中的应用
• 利用导数证明超越不等式（放缩法）
• 指数函数与对数函数的数值比较
• 构造辅助函数 

• 构造函数法
• 经典不等式法
• 放缩法 

描述: 本题是 2022 年新高考 I 卷的第 7 题。作为选择题的压轴位置，本题综合考查了利用导数工具比较对数与指数大小的能力。解题核心在于通过构造合适的辅助函数，利用导数判定其单调性，从而推导出  与  相关的经典不等式，并进行精确放缩。

📌 【题干】 设 ，，，则（    ）

A. B. C. D. 

🔍 【思路分析】

1. 统一形式：
• ；
• ；
• 。
2. **比较  与 **：利用经典不等式  的变形，或构造函数研究  与  的关系。
3. **比较  与 **：利用  与  的泰勒展开或经典放缩  进行初判，再构造更精细的函数进行论证。
4. 常用工具：
•  （当  时）；
•  （当  时）；
•  （当  时）。

✍ {详细解析}

【解法一】构造函数，，则，， 当时，， ∴时， 单调递减；，，单调递增，在处取最小值（1），，，，；，，，；，而，，．故选：．

【解法二】(构造法2)：

先比较。设则，∴，∴<，,，

∴，即；

再比较。易知，当且仅当时取等号，取，得, ∴. 设， 则, ∴

,取，得

即故选C.

【解法三】

由不等式得，

又因为，所以，所以$c

由得，得，

所以

所以.

所以，综上.故选项正确.

【试题评价】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

💡 【考点归纳与反思】

1. 核心不等式链：在处理比较大小题时，熟练掌握  是基础，但面对压轴题，往往需要更高阶的放缩，如  或 。
2. 构造函数的技巧：若放缩法不明显，构造函数并利用导数研究其单调性是通法。关键在于构造的函数在  或  处有确定的函数值。
3. 近似计算的风险：直接使用  和  可以辅助预判，但在解答中必须体现严格的逻辑推导。

🚀 【拓展延伸】

• 方法拓展：泰勒展开法。
• 当  时，，而 ，显然 。
• 变式思考：若题目改为比较  与 ，该如何论证？
• 老师寄语：比较大小题是“精度”的博弈。看到  这种小量，第一反应是利用函数在原点附近的切线或二阶逼近性质。掌握几个关键的放缩不等式，能让你在考场上节省大量时间。】