中考高分必刷:费马点模型,几何最值常考题型,很多孩子丢分严重.建议收藏
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中考高分必刷:费马点模型,几何最值常考题型,很多孩子丢分严重.建议收藏
费马点问题是几何最值问题中的经典模型，与将军饮马、胡不归等模型一样，都是中考压轴题的常客。掌握这一模型，是解决一类最值问题的关键。费马点的由来
这个问题最早由法国数学家费马提出。费马本人是一名律师，数学只是他的业余爱好，却被后世称为“业余数学家之王”。1643年，他在给物理学家托里拆利的信中写道：“在三角形内找一点，使得到三个顶点的距离之和最小。”托里拆利成功解决了这个问题，答案很简洁：若三角形所有内角都小于120°，则该点与三顶点连线两两夹角为120°；若有一个内角≥120°，则该点就是这个钝角的顶点。因此，这个点被称为费马点，也叫托里拆利点模型介绍
费马点的概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点①当△ABC各角不超过120°时
将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B则∆APB≌∆A’P’B∴BP=BP’ AP=AP’∠A’P’B =∠APB∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120°②当△ABC有一个内角大于或等于120°时(这种情况一般不考）
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，则△APC≌△AP'C'∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（(只有当P、A重合时取等号)）所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．经典例题
加权费马点
加权费马点：将前面所求的PA+PB+PC变为xPA+yPB+zPC最小值，每条线段前面的系数不都为1，那么此类问题我们就称为“加权费马点”【关键】系数改变之后解题思路依旧还是旋转，但是旋转的角度会受系数影响，有时还需要对线段进行缩放。经典例题
实战演练
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