【CSP】CSP-J 2021真题 | 插入排序 luogu-P7910 (适合GESP四-六级及以上考生练习)

CSP-J 2021真题-插入排序，模拟与排序考点，重点考察对插入排序稳定性的理解以及增量更新排名的优化能力，适合GESP四-六级及以上考生练习，难度⭐⭐⭐，洛谷难度等级普及/提高−。

P7910 [CSP-J 2021] 插入排序

题目要求

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 ，则插入排序可以以  的时间复杂度完成长度为  的数组的排序。不妨假设这  个数字分别存储在  之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = i; j >= 2; j--)if (a[j] < a[j-1]) {int t = a[j-1];   a[j-1] = a[j];   a[j] = t;  }

这下面是 Pascal 的示范代码：

for i:=1 to n do	for j:=i downto 2 do		if a[j]<a[j-1] then			begin				t:=a[i];				a[i]:=a[j];				a[j]:=t;			end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为  的数组 ，数组下标从  开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组  上的  次操作，操作共两种，参数分别如下：

：这是第一种操作，会将  的第  个元素，也就是  的值，修改为 。保证 ，。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对  数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来  的第  个元素，也就是 ，在排序后的新数组所处的位置。保证 。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型  的操作次数不超过 。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 ，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含  个空格分隔的非负整数，其中第  个非负整数表示 。

接下来  行，每行  个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为  的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 43 2 12 31 3 22 22 3

输出 #1

112

说明/提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 。

注意虽然此时 ，但是我们不能将其视为相同的元素。

【样例 #2】

见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 。

【样例 #3】

见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 。

【样例 #4】

见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 ，，，。

对于所有测试数据，保证在所有  次操作中，至多有  次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

附件：sort.zip（详见洛谷网站对应题目页）

题目分析

本题基于插入排序算法构造了一个带修改的排名查询问题。需要在理解插入排序行为的基础上，设计一套高效的排名预计算与增量更新机制。

1. 理解插入排序的稳定性

观察伪代码中的交换条件 if (a[j] < a[j-1])，只在严格小于时才交换，值相等时不交换。这是稳定排序的特征：值相同的元素保持原始下标的先后顺序。因此，排序后元素的位置完全由排序关键字  决定——先按值升序，值相同时按原始下标升序。

2. 将排名转化为计数

元素  排序后的位置等于"排在它前面的元素个数" 。元素  排在  前面，当且仅当 ，或  且 。公式表示为：

3. 预计算初始排名

读入数组后，对每个元素遍历整个数组统计排在它前面的元素数量，即可得到初始排名数组。时间复杂度 ，对于  完全可以接受。

4. 修改操作的增量更新

执行操作 1 x v 时，只有  的值发生了变化。对其他元素  的排名影响是局部的——只取决于  和  之间的相对排序关系是否因修改而改变。对于每个 ，比较修改前后  是否排在  前面：

• 如果  从"排在  前面"变为"不在前面"： 减 。
• 如果  从"不在  前面"变为"排在前面"： 加 。

最后单独重新计算  本身。每次修改操作时间复杂度 ，不能对所有元素都用  的完整重算方式（那样每次修改将变成 ，总计 ，会超时）。

5. 查询与总体复杂度

排名数组始终维护最新状态，查询操作只需  直接输出。总体时间复杂度：初始化  + 修改  + 查询 ，约为 ，完全在题目限制内。

示例代码

#include<iostream>intmain(){    int n, Q;    std::cin >> n >> Q;    int a[8001];       // 原始数组，下标从 1 开始    int rnk[8001];     // rnk[i] 表示 a[i] 在插入排序后的位置（排名）    // 读入初始数组    for (int i = 1; i <= n; i++) {        std::cin >> a[i];    }    // 预计算初始排名    // rnk[i] = 1 + 所有"排在 i 前面"的元素个数    // 元素 j 排在 i 前面的条件：a[j] < a[i]，或 a[j] == a[i] 且 j < i    for (int i = 1; i <= n; i++) {        rnk[i] = 1;        for (int j = 1; j <= n; j++) {            if (j == i) {                continue;            }            if (a[j] < a[i] || (a[j] == a[i] && j < i)) {                rnk[i]++;            }        }    }    // 处理 Q 次操作    while (Q--) {        int op;        std::cin >> op;        if (op == 1) {            // 修改操作：将 a[x] 改为 v            int x, v;            std::cin >> x >> v;            int old_val = a[x]; // 记录修改前的旧值            a[x] = v;           // 执行修改            // 增量更新其他元素的排名            // 逐一检查每个元素 i 与 x 的相对顺序是否因修改而改变            for (int i = 1; i <= n; i++) {                if (i == x) {                    continue;                }                // 修改前，x 是否排在 i 前面？                bool old_x_before_i = (old_val < a[i]) || (old_val == a[i] && x < i);                // 修改后，x 是否排在 i 前面？                bool new_x_before_i = (v < a[i]) || (v == a[i] && x < i);                if (old_x_before_i && !new_x_before_i) {                    // x 原来排在 i 前面，现在不再排在前面                    // i 前面少了一个元素，排名前移 1 位                    rnk[i]--;                } else if (!old_x_before_i && new_x_before_i) {                    // x 原来不排在 i 前面，现在排到了前面                    // i 前面多了一个元素，排名后移 1 位                    rnk[i]++;                }            }            // 重新计算 x 自身的排名            rnk[x] = 1;            for (int j = 1; j <= n; j++) {                if (j == x) {                    continue;                }                if (a[j] < a[x] || (a[j] == a[x] && j < x)) {                    rnk[x]++;                }            }        } else {            // 查询操作：输出 a[x] 排序后所处的位置            int x;            std::cin >> x;            std::cout << rnk[x] << "\n";        }    }    return 0;}

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