专题21 二次函数图象、符号、判别式综合
（湘教版九上，中考选择压轴必考）
适配2026湖南中考数学 · 45专题总计划 · 第21专题
一、知识点详细梳理
1. 二次函数图象平移规律
顶点式：y=a(x−h)²+k
平移口诀：左加右减x，上加下减常数
- 向左m个单位：y=a(x+h+m)²+k
- 向右m个单位：y=a(x−h−m)²+k
- 向上n个单位：y=a(x−h)²+k+n
- 向下n个单位：y=a(x−h)²+k−n
只变顶点，不变开口、形状、a
2. a、b、c 符号判断（中考必考）
- a：看开口
向上 ⇒ a＞0
向下 ⇒ a＜0
- b：看对称轴 x=−b/(2a)
对称轴在y轴左：a、b同号
对称轴在y轴右：a、b异号
对称轴是y轴：b=0
- c：看与y轴交点
交y轴正半轴 ⇒ c＞0
交y轴负半轴 ⇒ c＜0
过原点 ⇒ c=0
3. 判别式 Δ = b²−4ac
- Δ＞0 ⇨ 与x轴2个交点
- Δ＝0 ⇨ 与x轴1个交点（相切）
- Δ＜0 ⇨ 与x轴无交点
4. 特殊函数值
- x=1 ⇒ y=a+b+c
- x=−1 ⇒ y=a−b+c
- x=2 ⇒ y=4a+2b+c
常用来判断式子正负。
二、湖南中考核心考点
1. 二次函数平移
2. 由图象判断 a、b、c、Δ、a+b+c 符号
3. 对称轴、顶点综合
4. 与一次函数、反比例函数综合
5. 最值、范围问题
四、易错点总结
1. 平移：右减、左加，别记反
2. 对称轴：左同右异
3. Δ判断交点：Δ>0两个，Δ=0一个，Δ<0没有
4. a管开口，b管对称，c管y交点
5. 顶点式h符号最容易错
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