填空题1到4比较简单，属于是送分题。
第五题很多人计算方式不同可能出的结果不同，这很正常，不过不是最简，预计不会给分，结果多样，改卷老师也不懂！这里给出两种可能出现的情况。
一:填空题
(5) 积分 _____.
解：
方法一利用万能公式
直接换元设 ,即为 ,所以有
方法二：
所以本题即为
反三角有如下公式：
对于本题:
继续带入:
这种题也是送分题，大一新生随便做
三、(本题 12 分)
设 为 上恒正的连续函数, 为有限实数,且 .
证明:微分方程
的任一正解 满足 .
本题公众号发过一题几乎原题的题。就是把一阶线性变成了，伯努利方程。
明显是近些年的热点伯努利方程, 你至少可以把解给解出来，这就得了不少分了，然后就得靠你自己洛了。可能有的人并不知道广义洛必达，但直接还是那句话，遇到极限我就洛，洛不出来改下在洛。本题用广义洛必达解决，对分子其实无要求，公众号其实也发过其他用洛必达的类似。
解:
由于是正解 本题已经说明是证解所以直接除 有
即为:
设 ,则有 即为
所以有
所以
这题比较灵活，做法和处理比较多，思路还是比较明显的。
五、(本题 14 分)
已知曲面
所围成的区域被曲面 分成上下两部分,计算上下两部分区域的体积之比.
本题是线代和多元积分结合，大部分应该没咋见过本题，而且里面出现了混合项，有经验的会考虑配方或者用用正交变换处理了，不过大部分人都是懵的，斩杀了不少人。同时也是有计算量的，看你方法的选取，有的比较麻烦。
解：
本题最让人不知所措的是出现了一个交叉项 但是注意两个曲面方程的二次项都是一致的所以可以通过适当的换元变为标准. 由于出现了两体积做比值, 下题做同一个线性变换所以不考虑雅可比系数
出现了 考虑在线代里面有经典的换元
显然这是一个可逆变化,考虑正交变化或者配方也行,如原答案一样。
所以有
即为:
即为:
配方得
不妨
所以有：
联立得交线为
计算两曲面相交部分
还是说先后一吧感觉直接投影算也烦,哈哈。
所以
注: 虽然线性变化了,但 的上下关系没变, 变换后的曲面上下关系反应原来曲面的上下关系
据说考试时题目错误，考试结束前十几分钟才通知修改题目，导致很多人根本没动笔，据说写了一些给了点分，本题无多少高分，拉不出差距。本题很多错误，属于真高考题类型，不评论了，属于出题人没活了。
七、(本题 12 分)
设 ,数列 由如下递推式定义
其中
收敛.
(1) 证明: 收敛;
(2) 求 .
题目的阿尔法和a的码字错误就不修改了读者自己注意一下。
本题为一些难题的弱化版（第二版红书和第二版蒲河平有个相似的，a=1也是古老网红题(这对非数比较难)）, 不少人应该看过, 原题比较难, 这里通过转化直接变成常规模型。有的人说这是压轴题，包不是的，此题还是看你对stolz的掌握性，得去试试才知道怎么做，很多人第一问拿到了分，第二问没写出来。
网上反正很多出答案后口嗨简单的，然后念答案的，我只能说你口嗨的时候动个笔，怎么不马上秒了念答案有意思吗大一的都会，就会我反正看决赛人说难没出答案就直接秒了，且做法不同。
公众号有类题见
解：
(1):
记 因为
即为 单调递增且 所以有:
所以 ,取极限得:
有 ,即有
为了说明 ,下面反证:
若 有界则有
所以有 ,矛盾,所以有
所以有 ,即为
借助此本题就变成经典模型了
下面用夹逼或等价有：
利用 stolz 有
所以显然有 .
第一题即为:
(2):
所以有
再次用 stolz或者积分放缩:
由于 我们下面放心除,所以有
