第一届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案
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真题及详解
第一届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考答案
一、计算题（本题20分，每小题5分，共4小题）
(1) 求极限
解： 利用不等式：$x-\frac{1}{6} x^{3}<\sin x
根据夹逼准则，所求极限为
(2) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，
解：
(3) 圆柱容积为 ，上下底单位面积材料费 ，侧面 ，求高与底面直径之比使费用最少
解：，总费用
(4) ，求
解：
令 ，
二、求极限（本题10分，(1)4分，(2)6分）
(1)
解：
(2)
解：
三、（本题10分）
，求
解：
四、（本题10分）
在 连续， 收敛，求
解：
五、（本题12分）
，证明： (1) (2)
证明： (1) 令 ，，由介值定理得证。 (2) 令 ，由罗尔定理得证。
六、（本题14分）
证明 在 至少有一根。
证明：，，由介值定理得证。
七、（本题12分）
是否存在可微函数 使得
解：不存在。证明：，左边导数为 ，右边导数为 ，矛盾。
八、（本题12分）
在 一致连续，，证明 在 一致收敛于0。
证明： 由一致连续与分点控制，可得 时 ，一致收敛。
第一届全国大学生数学竞赛决赛 参考答案
一、计算题
(1)
(2)
(3) 高与底面直径之比为
(4)
二、求极限
(1)
(2)
三、
四、
五、
(1) 存在 使得 ，证明成立(2) 存在 使得 ，证明成立
六、
方程 在 内至少有一个根，证明成立
七、
不存在这样的可微函数
八、
函数序列 在 上一致收敛于 0，证明成立
END
文章来源：
四季读书网
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