第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案
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真题及详解
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)
一、计算题（本题15分，每小题5分，共3小题）
求极限
。 解：求极限
解：利用定积分的定义，原式 。已知参数方程：x=ln(1+e^2t)，y=t-arctane^t，求 。 解：利用参数方程求导法则，先求 ，，进而得 ，，最终 。
二、（本题10分）
求微分方程 的通解。 解：利用凑全微分法，由 得：，即 。 通解为：（C为任意常数）。
三、（本题15分）
设函数 在点 的某邻域内有二阶连续导数，且 ，， 均不为零。证明：存在唯一一组实数 ，，，使得
。 解：令 ，利用带Peano型余项的Taylor公式： 代入得：。 由 ，需满足线性方程组：系数行列式非零，用Cramer法则解得 ，，。四、（本题17分）
设曲面∑₁：（其中 ），曲面∑₂：，Γ为∑₁和∑₂的交线。求椭球面∑₁在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。 解：[方法一] 根据对称性，考虑交线Γ第一卦限部分，设切点坐标 ， 切平面方程 ，原点到切平面距离 ， 记 ，转化为求ρ在 与 条件下的极值，用Lagrange乘数法求解。
[方法二] 同样根据对称性考虑第一卦限， 转化为求 在 与 条件下的最值， 通过对方程变形和分析 的单调性求解，根据a,b,c不同关系得出最大距离 和最小距离 。
五、（本题16分）
已知∑是空间曲线：， 绕y轴旋转而成的椭球面，S表示曲面∑的上半部分（），Π是椭球面S上点P(x, y, z)处的切平面，ρ(x, y, z)是原点到切平面Π的距离，λ, μ, ν表示S取上侧时点P处的外法线的方向余弦。
计算 曲面积分∫∫_S (z/ρ(x,y,z)) dS 计算 曲面积分∫∫_S z(λx+3μy+νz) dS（S取上侧）
解：1. 椭球面∑方程 ，法向量 {x, 3y, z}，切平面方程 ，，在S上计算曲面积分，利用广义极坐标变换得结果为 。
[方法一] 补面用Gauss公式，将S补上xOy平面区域S₁构成封闭曲面外侧，利用Gauss公式和“先二后一”法计算曲面积分，结果为 。 [方法二] 直接利用(1)结果，根据法向量方向余弦关系计算曲面积分，结果为 。
六、（本题12分）
设 是 上可微的正值函数，且满足
（其中 ）。任取实数 ，定义 ，证明：级数∑(n=1到∞) 绝对收敛。 解：由 ，利用Lagrange中值定理得：， 归纳可得 ， 由比较判别法知级数∑(n=1到∞) 收敛，即原级数绝对收敛。七、（本题15分）
问在区间 上是否存在连续可微的函数 ，满足 ，，，并说明理由。 解：不存在这样的函数。 用反证法，假设存在函数 ，由 ，在 和 上分别用Lagrange中值定理，则存在ξ∈(0,1)，η∈(1,2)，使得：，。 记分段函数g(x)：当0≤x≤1时，g(x)=1-x；当1<x≤2时，g(x)=x-1。则g(x)在 上连续，且满足 。 注意到 ，进而有 成立， 所以 ，由此推出 ，但g(x)在 处不可导，与f(x)可微矛盾，所以不存在满足条件的函数。
END
