理解数学:数形结合解2026安庆市中考模拟代数压轴题

2026安庆市中考数学一模第23题是一道代数压轴题，现对此题做一些分析.

一、原题

已知抛物线y=ax²+2ax-8a (a≠0).

1.求该抛物线的对称轴；

2.若抛物线经过两个不同点P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)

(1)当y₁=y₂≠0时，若，求a的值；

(2)当1＜x₁＜2，x₂=m时，总有y₁＞y₂，求满足条件的m的取值范围.

二、解析

1.第1小问解析

根据二次函数y=ax²+bx+c的对称轴公式x=-b/2a，得

y=ax²+2ax-8a 的对称轴为

x=-2a/2a，

即x=-1.

此第1小问，遵循常规压轴题的例规，比较容易，属于给分题，学生只要能记住对称轴公式，或者，即使记不住，也可以用配方法来推导出来.

2.第2(1)问解析

这个2(1)问，一看就头疼，有等号“=”有不等号“≠”，有方程有分式，清一色的字母.

我们慢慢来看.

先从y₁=y₂≠0开始.依题意，

y₁=ax₁²+2ax₁-8a 

y₂=ax₂²+2ax₂-8a

由y₁=y₂得，

ax₁²+2ax₁-8a=ax₂²+2ax₂-8a

把等号右边移到左边，并因式分解，得到

(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)=0

由此得，x₁-x₂=0或x₁+x₂+2=0，

因为P、Q是两个不同点，所以，排除x₁-x₂=0，取

x₁+x₂+2=0①

再从后面的等式化解.

所以，通过约分，得到

x₁-2=a-x₂

即a=x₁+x₂-2②

把①代入②得

a=-2-2=-4. 

这个小问，经历了代数推理的过程，看似复杂、心烦，但只要从两个条件出发，利用因式分解、约分等知识，就能巧妙化解.

2.第2(2)问解析

这个问题，需要画图来理解，也就是需要数形结合的思想来进行推理.

由第1问知，对称轴为x=-1，说明对称轴在y轴左侧.

还可以利用公式，算出它的顶点坐标为(-1，-9a)，说明顶点在二或三象限.

还可以求出这个二次函数与x轴的两个交点坐标为(2,0)和(-4,0).

根据a的取值，来画出二次函数的草图，根据图象来求m 的取值范围.

分两种情况.

第一种情况，当a＞0时，其情况如下左图.因为1＜x₁＜2，所以点P(x₁,y₁)在图上点A和点B之间，根据y₁＞y_{2，说明点}Q(x₂,y₂)的水平位置比点A要低，点A与点C是对称的，水平位置一样.故点Q应该在点C和点A之间的图象上，那么应该有-3≤m≤1.

第二种情况，当a＜0时，其情况如右上图，点P(x₁,y₁)在图上点E和点F之间，根据y₁＞y_{2，说明点}Q(x₂,y₂)的水平位置比点F要低，点F与点H是对称的，水平位置一样.故点Q应该在点F或点H的下方的图象上，那么应该有m≥2或m≤-4.

三、思考

1.遵循常规

此题是模拟试卷的最后一题，是一道代数压轴题，遵循了考试常规，即第1问比较简单，后两问有一定的难度.而且，第1问的结果，对后面有一定的参考作用.

2.代数推理

这道题充分考查了代数推理，代数推理也是新课标所强调的内容，这就要求学生在答题的时候，思路清晰，充分利用已知条件，运用等式的性质，进行变形、代换等.

3.数形结合

最后一问，充分运用了数形结合的思想，从图形中寻找问题的答案.也展示了几何直观.

（2026.4.11图形问题14）