1600期 解析几何中隐藏的轨迹（回归高考真题系列02）

去年之前小派做过一段时间的回归高考真题系列内容，但是由于同学反馈不佳，可能是由于25高考刚过，距离26高考还很遥远的缘故吧。  但是现在距离今年高考只有两个月多点的时间，同学，你该做真题了（近五年高考真题以及分类汇编可以移步到小派之前的推文《同学，你该做真题了！（21-25五年高考真题分类汇编20讲）》文末获取）！因此小派想在该时间节点重启这一系列，带同学们一起回顾高考真题。不少同学可能存在这样的思想：觉得以前的高考题考过了就不会再考了，所以做不做真题意义不大！首先这种思想本身就是错的，比如25年全国Ⅰ卷第16题数列与导数结合的大题与2005年山东高考文理第21题高度相似！其次做往年高考题也有不少好处，比如往年的高考真题都是由权威命题专家精心打磨（包括题型、难度、知识点分布等），通过分析历年真题，我们能快速掌握高频考点，明确哪些知识点是必考、常考内容，避免在冷门知识点上浪费精力，实现有的放矢的复习！也就能精准把握命题规律方向等等好处吧…… 往期可以参见下方链接⬇️《1599期 逆天！“高抄”的全国Ⅰ卷导数高仿题（回归高考真题系列01）》

该篇素材选自昨天刚考的福建厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试第18题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复“26届模拟卷”获取）。该题就是属于类似去年25年全国Ⅰ卷第18题的类型，在圆锥曲线中又藏着某点轨迹方程！这种题当知道了隐藏的轨迹之后，计算就没什么难度了，比如这届青岛26届新高三入学考T19、武汉26届高中毕业生3月调T18等等都是此类型。

• 一、厦门26届毕业班3月测隐藏的轨迹
• 二、25全国Ⅰ卷圆锥曲线中隐藏的轨迹
• 1、个人解析
• 2、官方解析
• 三、武汉26届高中毕业生3月考T18
• 四、青岛26届新高三入学考T19
• 五、武汉25届毕业生4月考T19

这种题并不含有什么二级结论抑或技巧之类的，就是考计算、巧算以及少算多想（这点在官方2026年版高考试题分析中对该题的评价中也明确指出，参见下文）。这样的命题方式符合近两年新高考解析几何压轴的命题趋势——需要硬算的部分减少，更注重少算巧算多想，命题方式更灵活，考验学生临场计算能力！而在23年之前一段时间，具有射影几何背景的题风靡一时，导致很多老师和学生学习钻研各种不联立解题技巧，解题步骤程式化套路化严重，甚至背解题模板就能解决大多数极点极线等具有射影背景的定值定点类问题，违背了解析几何考察学生计算能力！

今天就将25年全国Ⅰ卷第18题以及这几道典型模考题，作为回归高考真题系列第2篇素材。

一、厦门26届毕业班3月测隐藏的轨迹

【福建厦门26届毕业班3月测T18】（关注：Hi数学派）已知椭圆 （）的左、右顶点分别为 、，. 直线  交  于 、 两点，.（1） 求  的方程；（2） 点  在线段  上，直线 ， 分别交  于 ， 两点，直线 ， 交于 点  .（i） 证明：  ；（ii） 判断  轴上是否存在定点 ，使得  为定值. 若存在，求出  的坐标；若不存在，说明理由.

解析： （能力强的可以略过即可，下面过程写的很详细，有点不像题目的答案，只是为了照顾更多关注小派的新同学）

（1）

（2） 易知 ，

因为点  在直线  截椭圆的线段  上，设 

将  代入椭圆方程得 ，故  的取值范围是 

设点 ，点 

设点 ，点 。

因为  在椭圆上，所以

则（第三定义）

故

设点 ，同理可得

联立  和  式，得

因为 （否则  在  轴上，与  重合，不合题意），约去  并交叉相乘

展开得：

化简得

因为  的横坐标 ，与  的横坐标相同，即 

所以直线  垂直于  轴，又因为  均在  轴上，故 ，证明完毕。

（ii） 由 （i） 的结论 ，将其代入式  中，得

化简得

这说明点  在抛物线  上运动

将该抛物线方程化为标准形式

可以看出，其顶点为 ，开口向下，其中 ，所以 

故该抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 

接下来判断点  与点  的上下位置关系

由于 ，且 ，所以 

则

因为 ，所以恒有 ，即点  始终在点  的上方。

过点  作准线  的垂线，垂足为 。根据抛物线的定义，点  到焦点  的距离等于到准线  的距离，即 

此时，

因此，若取定点  为该抛物线的焦点 ，则  为定值 

因此存在这样的定点 ，其坐标为 

二、25全国Ⅰ卷圆锥曲线中隐藏的轨迹

注： 有关该题中的反演点，以及拓展小结论由于时间原因，后面有机会再更一下🙏

【25年全国Ⅰ卷T18】（关注：Hi数学派）已知椭圆 （）的离心率为 ，其下顶点为 ，顶点为 ，.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 已知动点  不在  轴上， 在射线  上，且满足 .（i） 设点  ，求点  的坐标（用 ， 表示）；（ii） 设  为坐标原点， 是  上的动点，直线  的斜率为直线  的斜率的  倍，求  的最大值.

1、个人解析

解析：

（1） 由题意得

解得

故椭圆的标准方程为 

（2）（i） 设 （）

所以

（ii） 由题意得 ，所以

所以

 在圆  上运动， 圆心 

设 ，所以

当且仅当  时取等号。

故  的最大值为 

2、官方解析

该部分节选于每年都会出的高考试题分析，该书不仅会有高考题的官方解析、多种解题思路、试题亮点评析，甚至还会有命题背景，是老师把握未来模考甚至高考命题方向和学生掌握哪些解题方法与技巧的重要研究资料！推荐老师人手一本，学生也可以入手学习一下。声明： 该部分节选于此书全国Ⅰ卷18题的解析与思路，仅作宣传此书使用！如有涉及侵权，请联系我们进行删除处理。

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三、武汉26届高中毕业生3月考T18

【武汉26届高中毕业生3月调T18】（关注：Hi数学派）曲线  （ ）与直线  交于点 ，过点  且与  垂直的直线交曲线  于另外的点 ，设线段  的中点为 ，定点  的坐标为 。（1） 用  表示点  的坐标；（2） 证明： 为定值；（3） 是否存在某条直线始终与以  为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由。

解析： （代数解析可以参考标答《26考前百卷 091 | 备受期待的武汉三调，参考答案及评分标准来了！》，下面采用的是几乎全是几何方法）

（1） （可以猜根然后联立验证）

（2）（关注：Hi数学派）由  且  斜率为 ，知  斜率为 。

考虑曲线  上斜率为  的两条切线 、，由对称性可设 ，

设  与曲线  的切点分别为 ，易得 ，

设  与  交于点 ， 与  交于点 。

由于 ，根据平行弦性质， 的中点  位于直线  上（由中点弦也易证）

四边形  是直角梯形（，）， 为高，，点  在高  上，点  在斜腰  上，且 。

由梯形截线定理，平行于底边的线段  的长度为

计算各线段长度：

代入公式得

（关注：Hi数学派）由于 ，即 ，于是

这是一个关于 （）的二次函数，说明点  的轨迹是一条抛物线，且对称轴垂直于 。

将这转化为解析坐标系中的参数：抛物线过点 ，且在  时取到最大距离 。这刚好对应坐标系的原点 （原点到  的距离即为 ）。

因此  轨迹是过  的抛物线。通过几何换算（或解抛物线方程 ）可知

• 该抛物线的顶点为 
• 焦点刚好是题干所给的定点 
• 准线为 

由抛物线定义， 等于  到准线  的距离。又  且 ，故  等于直线  与  之间的距离：

因此  为定值 

（3）（关注：Hi数学派）存在，该直线方程为 。

由 （2） 知，点  的轨迹是以  为焦点、 为准线的抛物线。

抛物线的顶点位于焦点与准线的中点，即直线  与对称轴  的交点 。

过顶点且平行于准线的直线（即抛物线顶点的切线）为

下面证明：以  为直径的圆始终与  相切。

设  的中点为 （圆心），半径为 。

分别过 、、 向  作垂线，垂足为 、、。

由于  是焦点与准线的中位线，有  等于  到准线的距离。由抛物线定义，（、 在  同侧）。

而  到  的距离为梯形  的中位线

即圆心到  的距离等于半径，故圆与  相切。

因此，存在这样的直线  始终与以  为直径的圆相切。

注：（关注：Hi数学派）第 （3） 其实是以抛物线焦半径为直径的圆与顶点处的切线相切

四、青岛26届新高三入学考T19

【青岛26届新高三入学考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）定义：设三角形  的内角 ，， 的对边分别为 ，，，若其所在平面内一点  满足 ，则称点  为三角形  的正弦分点.（1） 证明：点  为三角形  的内心；

（2） 已知  为坐标原点，动点  到  轴的距离为  ，且 ，其中 ， 均为常数，动点  的轨迹称为（，）曲线.（i） 已知曲线  为  曲线，其左顶点为 ，右焦点为 ，若点  是曲线  右支上的一点，三角形  的正弦分点为 ，证明：点  在曲线  上；（ii） 已知曲线  为  曲线，其焦点分别为 ，，若点  是曲线  上的一点，三角形  的正弦分点为 ，则是否存在两定点 ，，使得  恒为定值，若存在，求出此定值，若不存在，则说明理由.

解析：

（1） 由正弦定理可知

法一：（关注微信公众号：Hi数学派）易知 ，， 则

等式两边同时除以  ，再移项得

 表示边  方向上的单位向量，同理  表示边  方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知   表示  的角平分线方向上的向量，即  为  的角平分线，同理  分别为  的角平分线，所以点  是  的内心 .

法二：

设

由于

所以  在直线  上

又因为

所以  在角  的角平分线上

又因为

所以 ，， 三点共线

即  在角  的角平分线上

同理可得  在角 ，角  的角平分线上

即  为  的内心.

（2）（i） 由题意得

所以

设 ，则 ，

设直线 ，直线  ，联立直线得

代入  可得

显然 ，，否则 ，， 三点共线构成不了三角形.

两边同时除以  得

由 （1） 可知  为  的内心，（关注微信公众号：Hi数学派）不妨设  在第一象限

故（正切倍角公式）

代入式  可得

则  （舍去，，）或者 

所以

（ii） 由题意得

设 ，所以

又因为

则

所以

解得

则

即  的轨迹为椭圆，故

注： 椭圆焦点三角形内切圆结论，以及焦点三角形内心轨迹方程，可以参考小派之前的推文《1438期 17分的题竟考了个结论！（一口气系列2焦点三角形18结论）》

五、武汉25届毕业生4月考T19

【25届武汉4调T19】（关注：Hi数学派）如图，椭圆 （），，已知  右顶点为 ，且它们的交点分别为 ，，， .（1） 求  与  的标准方程；（2） 过点  作直线 ，交  于点 ，交  于点 ，设直线  的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合）（3） 点  是  上的动点，直线  交  于点  ，直线  交  于点 ，直线  交  于点 ，直线  与直线  交于点 ，求点  坐标，使直线  与直线  的斜率之积为定值.（上述各点均不重合）

解析：

（1） 由题意得 ，代入  可得

解得 ，

所以  与  的标准方程分别为  ，

（2）（关注微信公众号：Hi数学派）由题知， 和  关于原点对称，则由第三定义结论可知

则

（3） 设 ，，，，直线 、、、 的斜率分别为 、、、；

① 直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

②（关注微信公众号：Hi数学派）直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

③（关注微信公众号：Hi数学派）同理可得  和  的关系

④ 进而联立 、、 可得

⑤ 设点  ，则

将  代入  可得

即点  的轨迹是实轴为  轴的双曲线，其两个顶点为 ，

故由第三定义可知当  时，直线  与直线  的斜率之积为定值 

注： 第三定义的结论在答题卷上应当写出来不能直接使用。另外，由射影对应  与  可以得出点  的轨迹方程，有机会单独讲一下。