第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案
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真题及详解
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)
一、计算题（要求写出重要步骤）（本题30分，每题6分，共5小题）
(1) 求极限
解[方法一] 先对分母利用等价无穷小替换：，再利用洛必达法则
[方法二] 对分母利用无穷小替换：，再利用洛必达法则
(2) 求极限
解作变换 ，再拆分成三项，并对第一项利用洛必达法则，对第三项利用无穷小替换：
(3) 设函数 有二阶连续偏导数，满足 ，且 。设 是由方程 所确定的函数，求
解对方程 的两端关于 求偏导，得
所以 。再对上式两端关于 求偏导，得
将 代入上式并整理，得
由题设条件知括号内式子为0，且 ，所以 。
(4) 求不定积分
解[方法一] 注意到 ，所以 。
[方法二] 先拆项，再对第二项作分部积分，得
(5) 求曲面 和 所围立体的表面积
解联立 和 ，解得 （舍去 ），曲面在 平面上的投影区域为 。 曲面被平面 分成上、下两部分，分别利用曲面积分公式 ，所求表面积为
二、（本题13分）
讨论 的敛散性，其中 是一个实常数。解记 ， 是 上的连续函数，只需讨论 的敛散性。
(1) 若 ，则 ，根据比较判别法，积分 发散。
(2) 若 ，记 ，，故 与级数 敛散性相同。 因 ，有
积分得
任取 ， 以 为周期，故
分别取 和 ，得
进而 。
根据级数 的敛散性，当 时 收敛， 时发散。
综上：当 时，原积分收敛；当 时，原积分发散。
三、（本题13分）
设 在 上无穷次可微，并且满足：存在 ，使得 $|f^{(k)}(x)| ≤M(-\infty<x<+\infty)$，$k=1,2, \cdots$="" 且="" $f(\frac{1}{2^{n}})="0(n=1,2," \cdots)$。求证：在="" $(-\infty,+\infty)$="" 上="" $f(x)="" \equiv="" 0$。="" 证 由题设， 无穷次可微且各阶导数一致有界，故 可展开成麦克劳林级数：
步骤1：数学归纳法证明：对任意正整数 ，存在严格单调递减数列 ，满足 且 。
时，对 在 用罗尔定理，存在 ，使 ，数列严格递减且趋于0。 假设 时结论成立，即存在 满足条件。对 在 用罗尔定理，存在 ，使 ，数列满足条件。
由归纳法，结论对任意正整数 成立。
步骤2：求各阶导数在0点的值由 及各阶导数连续，得
因此 ，即 上 。
四、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）
设 为椭圆形 且面密度为 的均质薄板， 为通过椭圆焦点 且垂直于薄板的直线，其中 。
(1) 求薄板 绕直线 旋转的转动惯量
解由转动惯量公式，。 利用对称性及广义极坐标 ，，得
(2) 对于固定的转动惯量，讨论椭圆形薄板的面积是否有最大值和最小值
解椭圆面积 ，转动惯量固定时，设 （ 为常数），即讨论 在约束 下的极值。
构造拉格朗日函数
求偏导并令其为0：
消去 得 ，与 矛盾，故该条件极值问题无解。
结论：转动惯量固定时，椭圆形薄板的面积不存在最大值与最小值。
五、（本题12分）
设连续可微函数 由方程 唯一确定，其中 具有连续的偏导数，试求：，其中 为正向单位圆周。解对方程 求微分，得
整理得
因此
记 ，， 为 围成的区域，由格林公式得
将 、 代入被积函数，化简得
因此
六、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）
(1) 求解微分方程
解该方程为一阶线性非齐次微分方程，由通解公式得
由初始条件 ，得 ，故方程的解为
(2) 设 为上述方程的解，证明：
证先计算极限：。
将积分拆分为
对 ，，由拉格朗日中值定理，对 ，存在 ，使
求导得 ，故 （），因此
进而估计积分：
对 (*) 式两边取极限，得
END
