(20)2025年中考浙江省
舟山市普陀区二模数学
第24题
如图1，△ABC内接于⊙O，AC为直径，
在CA延长线上取一点E，使得AE=AB，
连结BE, 在AE下方，作∠AFE=∠BCA，
连结CF交⊙O于点D ，连结BD.
图1
⑴ 如图1，若∠BDC=∠AEF ，
①求证：△ABC≌EAF ;
②若AE=2, AF=4，求CD的长度；
图2
⑵ 如图2，若AF=EF，
2∠CBD=3∠BCA时，
求证： BD=EF .
【解析】(1)①∵∠BDC=∠BAC ,
∠BDC=∠AEF ，
∴∠BAC=∠AEF ，
在△ABC和△EAF中，
∵ ∠BAC=∠AEF ，
AB=AE ，
∠BCA=∠AFE ，
∴△ABC≌△EAF (ASA) ；
②如图3，连结AD ，
图3
∵AC为直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵△ABC≌△EAF ，
∴∠EAF=90°，
∴∠CAF=90°，
∴BA=AE=2,
BC=AF=4，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得
AC=√(BA²+BC²)
=√(2²+4²)
=2√5，
在 Rt△AFC中，
由勾股定理得
CF=√(AC²+AF²)
=√[(2√5)²+4²]
=6，
∵S△ACF=1/2AC·AF
=1/2AD·CF，
∴AD=AC·AF/CF
=4X2√5/6
=4√5/3，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得
CD=√(AC²-AD²)
=√[(2√5)²-(4√5/3)²]
=10/3，
(2）如图4，取弧BCA的中点G，
连结BG，AG，
图4
∵∠G=∠BCA ,
∠AFE=∠BCA ，
∴∠G=∠AFE ，
∵弧BG=弧AG，
∴BG=AG，
∴∠GAB=∠GBA ，
∵ AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA ，
∴∠GAB=∠GBA
=∠FAE
=∠FEA ，
在△GAB和△FEA中，
∵∠GBA=∠FAE ，
AB=AE ，
∠GAB=∠FEA ，
∴△GAB≌△FEA (ASA)，
∴AG=EF ，
∵2∠CBD=3∠BCA，
∴设∠BCA=2x,
∠CBD=3x，
∴∠G=∠BCA=2x，
∴∠GBA=(180°-2x)/2
=90°-x，
∴∠CBG=∠CBA-∠GBA
=90°-(90°-x)
=x ，
∴∠GBD=∠CBD-∠CBG
=3x-x
=2x，
∴∠GBD=∠BCA ，
∴弧AB=弧GD，
∴弧AG=弧BD，
∴AG=BD，
∴BD=EF .
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