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【2026中考模拟】如图1，四边形 ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，连接BE，OE，OB，已知∠CBE=∠ABD。
（1）若∠BOE=∠AEB，判断△BED的形状并证明；
（2）如图2，在（2）的条件下，BD为⊙O的直径。
①若∠ABE=30º，AB=2，则AC=______。
②求cos∠ABE的最小值。
【简析】（1）△BED为等腰三角形，证明如下：
连接OD，则∠EOB+∠EOD=2∠BCD，
∵∠CBE=∠ABD，∴∠ABE=∠CBE；
∵∠BAE=∠BDC，
∴△BAE∽△BDC，
∴∠AEB=∠BCD，∵∠BOE=∠AEB，
∴∠EOB=∠BCD，
∴∠EOD=∠BCD，
∵OE=OE，OB=OD，
∴EB=BD，即△BED为等腰三角形；
（2）①过点E作ET⊥AD于点T，∵
∵BD为直径，∠ABE=30º，
∴∠BAD=90º，∠BAE=60º，∠CAD=30º，
∵AB=2，∴AE=1，BE=ED=√3，ET=1/2，AT=√3/2，
TD=√11/2，AD=(√11+√3)/2；
相似手拉手：△BAD∽△BEC，AD∶EC=AB∶BE=2∶√3，
∴EC=(√3/2)(√11+√3)/2=(√33+3)/4，
AC=(√33+7)/4).
(2)②分析：要求cos∠ABE的最小值，即求cos∠DBC的最小值，当∠DBC最大时，cos∠DBC最小。
设BD=2r，BC=2m，CD=2n，假定r不变，不妨设点BC＜DC，即m＜n，m越小，cos∠DBC越小。取BC中点H，连接HO，HE，因为∠BEC=90º，所以HE=m，OE⊥BD，点E在定直线上运动，以H为圆心，m为半径作圆，如果圆H与OE有两个交点，则HE一定不是最小，所以当m最小时，圆H与OE相切，即HE⊥OE；
OH为CD的中位线，∴OH=n，OH∥CD；
OE⊥BD，HE⊥OE，
所以HE∥BD，∠OHE=∠BDC，
∴△OHE∽△BDC，
OH∶BD=HE∶CD，即n∶2r=m∶2n，mr=n²=r²-m²,
解得m/r=(-1±√5)/2；
因为∠DBC为锐角，
所以m/r=(√5-1)/2.
即cos∠ABE的最小值为(√5-1)/2.
学习加总结可成学霸。
9年级中考：运用正方形半角模型作辅助线
