初中数学常说的四大拓展定理，一般指：
射影定理、角平分线定理、中位线定理、中线定理（阿波罗尼斯定理）
下面按“定理+图示思路+证明+例题”给你整理好，直接能背能用。
一、射影定理（直角三角形）
定理内容
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，则：
1. CD^2 = AD \cdot DB
2. AC^2 = AD \cdot AB
3. BC^2 = BD \cdot AB
证明思路
利用相似三角形：
△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
对应边成比例即可推出。
例题
已知：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，DB=9。求 CD。
解：
CD^2 = 4 \times 9 = 36
CD=6
二、三角形角平分线定理
定理内容
在△ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，则：
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}
证明思路
过 C 作 CE∥AB 交 AD 延长线于 E，
则△ABD∽△ECD，且∠E=∠BAD=∠CAD，
故 AC=CE，得比例。
例题
△ABC 中，AB=6，AC=4，BC=5。AD 平分∠BAC，求 BD。
解：
设 BD=x，DC=5−x
\frac{x}{5-x}=\frac{6}{4}
4x=30−6x → 10x=30 → x=3
BD=3
三、三角形中位线定理
定理内容
三角形两边中点连线（中位线）：
1. 平行于第三边
2. 长度等于第三边的一半
即：D、E 为 AB、AC 中点，则
DE \parallel BC,\quad DE=\frac12 BC
证明思路
倍长中位线或用相似三角形（△ADE∽△ABC，相似比1:2）。
例题
△ABC 中，BC=10，D、E 分别为 AB、AC 中点，求 DE。
解：
DE=\frac12 \times 10=5
四、中线定理（阿波罗尼斯定理）
定理内容
△ABC 中，AD 是 BC 边上中线，则：
AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2
也常写成：
AB^2+AC^2=2AD^2+\frac12 BC^2
证明思路
作高，用勾股定理拆分线段，消去高，整理即得。
例题
△ABC 中，BC=6，AB=5，AC=7，AD 为中线。求 AD。
解：BD=3
5^2+7^2=2AD^2+2\times3^2
25+49=2AD^2+18
74-18=2AD^2 \Rightarrow 56=2AD^2 \Rightarrow AD^2=28
AD=2\sqrt7
