第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案

第五届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)

一、解答题（本题28分，每小题7分，共4小题）

1、计算积分 

解[方法一] 交换积分次序，得

[方法二] 设内层积分为 ，利用分部积分，得

2、设  是  上的连续函数，且满足 ，求一个这样的函数  使得积分  取得最小值

解根据Cauchy不等式，得

故 ，显然，当  时等号成立。

3、设  和  有连续偏导数，，曲线  过点 ，记  在  平面上的投影曲线为 ，求  上过点  的切线方程

解两曲面在  处的切平面的交线即为  在点  处的切线

消去 ，即得该切线在  平面上的投影为

这里  的系数 ，因此上式表示一直线，即为所求切线方程。

4、设 ，矩阵  满足关系式 ，其中  为单位矩阵且 ，试求常数  的值

解由题设关系式 ，得 ，若  可逆，则有 ，与题设矛盾，因此  不可逆，这等价于 ，易知

解得 。

二、（本题12分）

设 ，且 ，其中  是与  无关的常数，证明  是不超过三次的多项式。解只需证明  即可。根据Taylor公式

其中  介于  与  之间， 介于  与  之间，将上述第二个式子代入已知等式并与第一个式子比较，得

对上式取极限，令 ，则 ，。若 ，则 ，因此  为二次多项式；若 ，则 ，故 。因此  为至多三次多项式。

三、（本题12分）

设当  时，可微函数  满足条件 ，且 ，试证：当  时，有  成立。解由所给方程得 ，且 ，两边关于  求导并整理，得

这是关于  的一阶微分方程，可用分离变量法解得 ，由  得 ，所以 。

当  时，，所以  在区间  上严格单调递减，故当  时，$f(x)

另外，当  时，有 ，所以 。

综合起来有：当  时，。

四、（本题12分）

设 ，，其中函数  在  上有连续二阶偏导数，若对任何  有 ，且 ，证明 。解利用分部积分及交换积分顺序，得

五、（本题12分）

设函数  连续可导，，有向曲面  是圆柱体 ， 的表面，方向朝外，记第二型曲面积分 ，求极限 。解利用Gauss公式，再利用柱面坐标计算。记 ，，则

由L'Hospital法则得

六、（本题12分）

设  为  阶正定矩阵，求证:  正定的充要条件是 。解

必要性

因为  正定，所以  必为对称矩阵，从而有

充分性

设 ，则 ，所以  是实对称矩阵。由  正定可知，存在可逆实矩阵 ，使得 ，，所以 ，因此

即  与正定矩阵相似，可知  的特征值都为正实数，因此  为正定矩阵。

七、（本题12分）

设  的收敛半径为 ， 且 ，证明:  收敛且 。解记 ，$-10Nn>N$ 时，有

考虑如下不等式:

取 ，对上式右端三项分别作如下估计：

1. 第一项：

1. 第二项：

1. 第三项：

故当  时，，因此级数  收敛且 。