25-26附中初三数学一模试卷【视频讲解】+【试卷分析】

👆24题原题

复杂的新定义与没见过的新问题

1.思路分析

第24题一上来给了一个很复杂的新定义，又是平行又是所截线段的，很容易被绕得云里雾里，所以可以先从最简单的封闭图形入手——三角形，看到“所截线段中点”，感觉可能与三角形的中线有点关系，发现只要让所截线段都平行于某一条边，这些线段的的中点都在这条边的中线上（如图1），于是我们就找到了三角形的“骐骥轴”。那么前两问也就迎刃而解了。

👆（图1，三角形的“骐骥轴”，可以试着用线束原理说明）

第三问考了一个很少见的问题——最大张角问题，这个问题在20年的广益一模出现过一次，之后应该就很少再出现在考试当中。如果了解过这个知识点的同学应该很快能够做出来。以AO为弦作与直线x=1相切的圆，当切点为M时，∠AMO达到最大，正切值也就达到最大，然后利用∠CMO和∠CAM这组弦切角相等，结合相似或者三角函数就可以求出M的坐标。

【另寻他路——分析与计算】

但是不知道这个点的同学就只能束手无策吗？其实不然，其他方法依旧能够求解。这时我们就需要分析题目，对于求最值或是取值范围的问题，我们多半是构造函数或是利用不等式的关系来求解，所以这里要想办法把tan∠AMO用变量表示出来。

既然是求∠AMO的正切值，我们就需要把这个角放到直角三角形中，所以很自然地想到过O往AM作垂线OH，设出M(0,m)，在三角形AOM中利用等面积法就可以求出OH长度，整理一下就能够得到tan∠AMO和m的关系式，是一个常见的同除变形的分式，按部就班求出最值即可。

👆（图2,，第三问的两种方法）

2.命题背景

这道题其实蕴含着两个有趣的问题，其一是第二问的条件——抛物线平行弦的中点在同一条直线上，证明不难，联立抛物线y=ax²+bx+c和直线y=mx+n得到一元二次方程：ax²+(b-m)x+c-n=0，利用韦达定理和中点公式就可以得到弦中点横坐标为(m-b)/2a，可以发现不管n如何变化，也就是无论直线怎么平移，所得弦的中点横坐标均不变，即平行弦中点在同一直线上，且该直线垂直于x轴。

其二便是最大张角问题，也叫做米勒问题：点A、B是∠MON的边ON上两个定点，点P在边OM上运动，何时∠APB最大？——当△APB的外接圆和边OM相切于点P时，∠APB最大，利用圆外角和圆周角的关系可以证明（如下图），这个结论也叫做米勒定理。

👆（图3，米勒问题与米勒定理）

👆（图4，米勒问题再现——2020广益一模）

👆25题原题——特殊角的处理——解三角形

1.思路分析

25题的二三两问系出同源，本质上都是处理45°这个特殊角——也就是解三角形。

先说第二问，遇到特殊角，我们通常都要将其放到直角三角形中，利用边长的关系来解决问题，这里结合BE=BC的条件，发现过B往AC作垂线不光能把∠A放到直角三角形中，还能够利用上等腰△BEC三线合一的性质。作垂后，通过设元可以将AE、HE、CH都表示出来，然后利用割线定理和勾股定理就可以求出HE和BE长度，问题得解。

👆（图5，25题第二问思路）

第三问看似繁琐，找到关窍——倒角得到∠ABE=22.5°——之后就很简单，然后就可以将△ABE抽离出来，解△ABE得到AE长度。解这个三角形难度不大，可以从45°的方向出发，也可以利用二倍角的关系构造等腰。

👆（图6，25题第三问思路）

👆（图7，特殊角和二倍角的处理——《魔法书》）