(14)2025年中考河北省
石家庄市二模数学第24题
如图1，在矩形ABCD中，AB=5,
BC=2，点G在DC上，且DG =1，连接
GA和GB，将∠AGB绕点G逆时针旋转，
点A, B的对应点分别为点A', B', GA'所在
直线与AB相交于点M, GB'所在直线与
射线BC相交于点N，以GM, GN为边
构造平行四边形GMHN，当射线GA'
与GB重合时，∠AGB停止旋转．
图1
(1）求 AG 的长；
图2
(2）如图2，当点N落在线段BC上时，
探究AM, BN的数量关系，并说明理由；
(3）当点C落在平行四边形GMHN的边
上时，求弧AA'的长；
图3
(4）如图3，当点N落在线段BC的延长线
上时，连接BH, CH, GH，若△GCH的周长最小，直接写出此时tan∠GHB的值．
（参考数据：tan27≈1/2)
【解析】(1）在Rt△ADG中，
AD=2, DG=1,
∴AG=√(DG²+AD²)
=√(1²+2²)
=√5；
(2) AM=1/2BN，
理由如下：
∵GC=5-1=4, BC =2，
且△DCB=90°,
∴ BG=√(GC²+BC²)
=√(4²+2²)
=2√5，
又∵DG/BC=AD/GC=1/2，
∠DCB=90°,
∴△ADG∽△GCB ，
∴∠DGA=∠CBG ,
∴∠DGA+∠CGB=∠CBG+∠CGB
=90°,
∴∠AGB=90°,
∴∠GAM+∠GBM=∠GBM+∠CBG
=90°,
∴∠GAM=∠CBG，
由旋转的性质，可得
∠AGM=∠BGN ，
∴△AMG∽△BNG ,
∴AM/BN=AG/GB=1/2，
∴AM=1/2BN ；
(3）由⑵易得，
平行四边形GMHN是矩形，
当点C落在平行四边形GMHN的边上时，
有以下两种情况．
情况一：如图4，此时点C, N重合，
点B, H重合，
图4
∵四边形GMHN为矩形，
∴GA'⊥AB ,
GM=BC=2,
AM=DG=1,
∴ tan∠AGA=AM/GM=1/2，
∴∠AGA'≈27°,
∴l弧AA'=27xπx√5/180
=3√5π/20，
情况二：如图5，此时点C在MH上，
图5
∵∠MBC=∠GMC=90°,
∠GCM=∠CMB,
∴△MBC∽△CMG ,
∴MB/CM=CM/GC，
∴CM²=GC·MB，
∵CM²=BC²+MB²,
∴4MB=2²+MB²，
解得 MB=2,
∴BC=MB ,
∴∠CMB=∠MCB=45°,
∴∠AMG=45°，
∵ tan∠DAG=DG/AD=1/2，
∴∠DAG≈27°,
∴∠GAM=90°-27°=63°,
∴∠AGM=180°-45°-63°
=72°,
∴l弧AA'=72xπx√5/180
=2√5π/5，
⑷如图6，由⑴⑵知
GB=2/5, AG=√5,
∠AGB =90°，
图6
当点N落在线段BC上时，
△AMG ~△BNG ．
同理可得
当点N落在线段BC的延长线上时，
△ AMG∽△BNG ,
∴GM/GN=AG/BG=1/2，
∴GM/MH=1/2，
过点G作GK⊥AB于点K ，
则 GK =2, BK =4,
∠GKM=90°,
∴GK/BK=1/2，
∴GK/BK=GM/MH=1/2，
∵∠GKM=∠GMH=90°,
∴△GKB~△GMH ,
∴∠KGB=∠MGH ,
GB = GM ,
∴∠KGB-∠MGB=∠MGH-∠MGB ，
即∠KGM=∠BGH ,
∴△GKM~△GBH ,
∴∠GBH=∠GKM=90°,
∵点H在过点B且垂直于GB的直线
上运动，延长GB至点G'，使得
G'B=GB=2√5，
连接G'H，如图6，
∴BH垂直平分GG',
∴ G'H=GH ,
∴△GCH的周长=GC+CH+GH
=GC+CH+G'H ,
当CH+G'H最小时，
△GCH的周长最小，
当C, H, G'三点共线时，
CH+G'H最小，如图6，
过点C作CT⊥GB于点T ，
在△CGB中，由面积法得
4x2=2√5CT,
∴CT=4√5/5，
∵BT/BC=BC/BG，
∴BT=2√5/5，
∴G'T=G'B+BT=12√5/5，
∵HB⊥GB ,
∴BH//CT ,
∴BH/CT=G'B/G'T =5/6，
∴BH=5/6CT=2√5/3，
∴在 Rt△GBH 中，
tan∠GHB=GB/BH
=2√5/(2√5/3)
=3 .
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