第八届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答

（非数学专业类）

一、填空题（本题满分30分，每小题6分）

(1) 过单叶双曲面  与球面  的交线且与直线  垂直的平面方程为 。

【解】 直线  的方向向量为 ，即所求平面的法向量。 由单叶双曲面与球面方程消去  得 ，交线过点 ，故平面方程为：

(2) 设可微函数  满足 ，，且 ，则 。

【解】 由极限定义，，故 。 积分得 ，由  得 ，即 。 由  积分得 ，代入  得 ，故：

(3) 已知  为  阶可逆反对称矩阵， 为  元列向量，设 ，则 。

【解】 因 ，故  也是反对称矩阵，对任意  维列向量  有 。 对  作分块初等变换：，故 。

(4)  的整数部分为 。

【解】 记 ，利用积分放缩：

故 。

(5) 曲线  绕直线  旋转所生成的旋转曲面的面积为 ****。

【解】 曲线  上点  到  的距离 ， 弧长微元 ， 旋转曲面面积：

令 ，则 。

二、（本题满分12分）

设 

，证明：。

【证】 令 ，求导：

令 ，则：

由均值不等式，，故 ，，即 ，故 ， 单调递减。 又 ，，故：

三、（本题满分12分）

设  为  上连续的周期为1的周期函数，且满足  与 。证明：当  时，有 ，并给出取等号的条件。

【证】 由 ，得：

由Cauchy不等式：

等号成立当且仅当 ，解得 。 此时 ，故等号条件为 。

四、（本题满分12分）

设函数  在区域  上具有连续的二阶偏导数，且满足 。计算 。

【解】 记球面  外侧单位法向量 ，由Gauss公式：

两式相减得：

五、（本题满分12分）

设  阶方阵  满足 ，证明：若存在正整数 ，使 （ 为零矩阵），则行列式 。

【证】 由  得 。 由  变形得 ，故 。 又 ，故 ，因此 。

六、（本题满分12分）

设 。 (1) 证明：极限  存在； (2) 设 ，讨论级数  的敛散性。

【解】 (1) 由不等式 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)0)$，得：

故  单调递减有下界，极限存在。

(2) 记 ，则 。 由Taylor公式，，而  收敛，但进一步分析得：

该级数发散，故  发散。