第十二届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案
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真题及详解
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类，2021年5月15日）
一、填空题（本题满分30分，每小题6分）
极限 ____； 设 ， 为空间两点，则函数 在点 处沿 方向的方向导数为____； 设空间曲线 ，则积分 ____； 设 的伴随矩阵 ，且 ，满足 （ 为单位矩阵），则 ____； 函数 的所有极值点为____。
二、（本题12分）
求极限：（ 为正整数）。
三、（本题12分）
求幂级数 的收敛域。
四、（本题12分）
设函数 在 上连续，在 内二阶可导，且 ，。 (1) 证明：存在互不相同的点 ，使得 （）； (2) 证明：存在 ，（），使得 。
五、（本题12分）
设 是 阶实对称矩阵，证明： (1) 存在实对称矩阵 ，使得 ，且 ； (2) 存在一个多项式 ，使得上述矩阵 ； (3) 上述矩阵 是唯一的。
六、（本题12分）
设 （$0<x,y<1$），证明：$\frac{2}{2-x-y} \leq="" \sum_{n="0}^{\infty}" \frac{a_n(x,y)}{n+1}="" \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}\right)$。<="" p="">
七、（本题10分）
设 ， 是 的连续函数，且 单调增加，求证：。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类）
一、填空题解析
答案：解析：由定积分定义，原式。利用三角恒等式 展开积分，计算得结果。
答案：（或等价化简形式） 解析：，单位向量 ； 偏导数计算：，，； 代入 得：，，； 方向导数。
答案：解析：利用对称性拆分积分：； 由对称性 ，；，，代入得结果。
答案：（或等价形式） 解析：由 ，，得 ，故 ； 对等式 左乘 右乘 ，得 ，即 ； 代入 ，计算得 。
答案：解析：求偏导并令其为0：，，； 解得 ，，，即 ，依次得 ，，为唯一极值点。
二、解析
答案：令 ，则 ； 取对数得 ，求导得：，故 ； 当 时，，，； 分母 ； 故原式。
三、解析
答案：记 ，泰勒展开 ，得：，即 ； 收敛半径 ； 当 时，级数 ，发散； 当 时，级数 ， 单调递减且 ，由莱布尼兹审敛法收敛； 故收敛域为 。
四、证明
(1) 令 ，则 ； 由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 ； 令 ，则 ； 对 分别在 和 上用罗尔定理，存在 ，，使得 ，即 （），且 。
(2) 令 ，则 ； 求导得 ； 对 在 上用罗尔定理，存在 ，使得 ，即 ，且 （）。
五、证明
(1) 因 是实对称矩阵，存在正交矩阵 ，使得 ，其中 （ 为 的特征值）； 令 ，其中 ； 则 ，且 。
(2) 设 是 的互异特征值，存在唯一的 次多项式 ，使得 （）； 则 ，故 。
(3) 设另存在实对称矩阵 ，使得 ，则 ，故 ； 因 均可相似对角化，存在可逆矩阵 及对角矩阵 ，使得 ，； 由 ，得 ，故 ，即 ，唯一性得证。
六、证明
方法1
当 时，，，等式成立； 当 时，不妨设 $0<x<y<1$，$a_n(x,y)=\frac{y^{n+1}-x^{n+1}}{y-x}$，故： $\sum_{n="0}^{\infty}\frac{A_n(x,y)}{n+1}=\frac{1}{y-x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{n+1}-x^{n+1}}{(n+1)}=\frac{1}{y-x}\ln\frac{1-x}{1-y}$；" 需证="" $\frac{2}{2-x-y}="" \leq="" \frac{1}{y-x}\ln\frac{1-x}{1-y}="" \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}\right)$；="" 令="" $t="\frac{y-x}{2-x-y}$（$0<t<1$），利用不等式" \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}="" \frac{t}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)$，代入即得证。<="" p="">
方法2
利用级数展开：，，； 需证对任意 ，； 用数学归纳法： 时显然成立； 假设 时成立，当 时，； 由归纳假设，，，得证。
七、证明
令 ，则需证 ； 记 ，由 ，得 ，故 ； 因 单调增加，当 时，，即 ；； 计算得 ，； 综上 ，即 ，得证。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类）
一、填空题解析
答案：解析：由定积分定义，原式。利用三角恒等式 展开积分，计算得结果。
答案：（或等价化简形式） 解析：，单位向量 ； 偏导数计算：，，； 代入 得：，，； 方向导数。
答案：解析：利用对称性拆分积分：； 由对称性 ，；，，代入得结果。
答案：（或等价形式） 解析：由 ，，得 ，故 ； 对等式 左乘 右乘 ，得 ，即 ； 代入 ，计算得 。
答案：解析：求偏导并令其为0：，，； 解得 ，，，即 ，依次得 ，，为唯一极值点。
二、解析
答案：令 ，则 ； 取对数得 ，求导得：，故 ； 当 时，，，； 分母 ； 故原式。
三、解析
答案：记 ，泰勒展开 ，得：，即 ； 收敛半径 ； 当 时，级数 ，发散； 当 时，级数 ， 单调递减且 ，由莱布尼兹审敛法收敛； 故收敛域为 。
四、证明
(1) 令 ，则 ； 由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 ； 令 ，则 ； 对 分别在 和 上用罗尔定理，存在 ，，使得 ，即 （），且 。
(2) 令 ，则 ； 求导得 ； 对 在 上用罗尔定理，存在 ，使得 ，即 ，且 （）。
五、证明
(1) 因 是实对称矩阵，存在正交矩阵 ，使得 ，其中 （ 为 的特征值）； 令 ，其中 ； 则 ，且 。
(2) 设 是 的互异特征值，存在唯一的 次多项式 ，使得 （）； 则 ，故 。
(3) 设另存在实对称矩阵 ，使得 ，则 ，故 ； 因 均可相似对角化，存在可逆矩阵 及对角矩阵 ，使得 ，； 由 ，得 ，故 ，即 ，唯一性得证。
六、证明
方法1
当 时，，，等式成立； 当 时，不妨设 $0<x<y<1$，$a_n(x,y)=\frac{y^{n+1}-x^{n+1}}{y-x}$，故： $\sum_{n="0}^{\infty}\frac{A_n(x,y)}{n+1}=\frac{1}{y-x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{n+1}-x^{n+1}}{(n+1)}=\frac{1}{y-x}\ln\frac{1-x}{1-y}$；" 需证="" $\frac{2}{2-x-y}="" \leq="" \frac{1}{y-x}\ln\frac{1-x}{1-y}="" \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}\right)$；="" 令="" $t="\frac{y-x}{2-x-y}$（$0<t<1$），利用不等式" \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}="" \frac{t}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)$，代入即得证。<="" p="">
方法2
利用级数展开：，，； 需证对任意 ，； 用数学归纳法： 时显然成立； 假设 时成立，当 时，； 由归纳假设，，，得证。
七、证明
令 ，则需证 ； 记 ，由 ，得 ，故 ； 因 单调增加，当 时，，即 ；； 计算得 ，； 综上 ，即 ，得证。
END
