幂级数
幂级数的阿贝尔定理推广
(2020, 上海交通大学)设数列 有极限 ,证明: 在 内有定义,且
证明:首先证明 的收敛域包含 .由于数列 收敛于 ,根据收敛数列必有界的性质,必定存在常数 ,使得对所有的 都有 .根据柯西-阿达马公式计算该幂级数的收敛半径 ,有
因为收敛半径 是该上极限的倒数,所以 .这说明幂级数 在区间 内绝对收敛,即在该区间内有定义.
接下来证明极限等式.当 时,由等比数列求和公式可知 ,将其两边同乘 并稍作变形,可以得到恒等式
显然有 ,所以只需要证明
即证明下式成立:
由于 ,数列 也是有界的,设其上界为 ,即 .同时,根据极限的定义,对任意给定的 ,存在正整数 ,使得当 时,满足 .将级数从第 项截断,并取 .当 时,利用三角不等式进行放缩:
这就证明了 ,从而得出 .
无穷可导函数的零点性质
(2020, 西北大学)已知 在 上无穷次可导,且满足如下条件,证明 .(i) ;(ii) .
证明:
首先,通过泰勒公式证明该函数在整个实数轴上可以展开为麦克劳林级数.对于任意实数 ,将其在 处展开,带有拉格朗日余项的泰勒公式表示为
其中 介于 与 之间.根据条件 (i),所有阶导数均被同一个常数 统一界定,因此余项满足不等式
对于任意固定的实数 ,由于指数函数 的泰勒级数 是收敛的,其通项必然趋于零,即 .余项趋于零说明 处处等于其麦克劳林级数,即 .为了证明 ,只需要证明对所有非负整数 都有 .
利用数学归纳法与罗尔中值定理来证明这一点.记 ().根据条件 (ii),有 .由于数列 严格单调递减且 ,由 在 处的连续性可知 .接着,因为在相邻的两个零点之间满足 ,由罗尔中值定理可知,在区间 内至少存在一点 ,使得 .显然,数列 也满足严格单调递减且被夹逼于 ,即 .再由 的连续性可得 .
依此类推,假设对于第 阶导数,存在严格单调递减且趋于 的数列 ,满足 且由此得出 .那么在区间 上对 再次应用罗尔中值定理,必定存在一点 使得 .由夹逼定理知 ,进而由 的连续性得出 .由数学归纳法可知,对所有 ,均有 .代入前文证明的麦克劳林级数展开式,即证得 .
带有积分余项的泰勒公式及应用
(2020, 中国科学技术大学)设 .
证明:其中 是正整数. 若 对所有的 都成立,证明: 在 上可以展成幂级数.
证明:
令积分余项为 .通过将 凑积分为 进行分部积分,可以得到:
这一递推关系表明
当从 到 对该式进行累加时,中间项会相互抵消,得到
而初始项 .将其代入并移项,即可得到
这就证明了带有积分余项的泰勒展开式
要证明 在 上能展成幂级数,等价于证明当 时,余项的极限 .为了便于放缩,对积分余项做变量代换 ,此时 ,积分上下限从 变为 .代换后的余项表达式为:
根据已知条件,对所有阶导数均有 ,这意味着 ,因此 是一个单调递增函数.由于 且 ,必然有 .利用 的单调递增性,可得 .同时由于被积函数非负,可以安全地对余项取绝对值并进行放缩:
这里 恰好是函数 在 处的泰勒展开余项.由第一问的等式可知
因为各项导数非负,级数的部分和总是非负的,所以 .由此得到
当 时,,显然有 .根据夹逼定理, 成立.这证明了在 内泰勒级数收敛于函数本身,即 成立.
