2025年天津中考函数压轴题的解法分析

第（Ⅱ）①问：

由,,可得：,

于是抛物线的表达式可整理为：

.

因此可将点的长用表示. 由题给的边角关系可作垂线构造全等三角形，由此可通过线段的关系将点的坐标用表示. 最后将点的坐标代入抛物线的表达式中，可得到关于的一元二次方程. 解方程求出的值，即可得出点的坐标.

 解答过程如下：

第（Ⅱ）②问：

      对于最后一问，个人认为采取逆推分析比较容易明确思路：

步骤1：先分析点取得最小值时，图形的情况.

      根据点在抛物线的对称轴上，连接，可得. 根据平行四边形的性质可得，所以. 

于是可转化为，由此可得的最小值即为的长，即！

步骤2：根据结合勾股定理得到关于,的一个方程.

      要求点的坐标，只需要确定点和点的坐标. 考虑到点,点，点在直线上，且在对称轴上，因此点的确定取决于,的确定. 在这里由勾股定理可得，还需再得到一个方程.

步骤3：利用的条件，构造图形得到关于,的另一个方程.

      这个几何条件无疑是在说明点和点的一个关系，将其转化为代数关系后将得到,的另一个关系式 .这个几何条件的利用不困难，是很常见的！可以考虑“截长”或“补短”构造等腰三角形(如下图)，两种方案可以达到一样的效果.

步骤4：消元得到一元二次方程，解出,，从而定图求坐标.

将前面得到的两个方程消去可得到关于的一元二次方程,解得，则,接着不难求得点的坐标.

整理思路，得到解答过程如下：

本题是体现数形结合思想的好题目，作为复习训练，也是很好的素材. 对函数与方程的关系的理解是解决函数压轴题的关键. 在解题训练中，应该更加关注对“为何能解”的本质的思考，而不是对几何模型构造技巧的过分追求.