四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．【2025·重庆】（10分）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 | 七年级 | 八年级 |
平均数 | 82 | 82 |
中位数 | a | 83 |
众数 | 84 | b |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
解：（1）七年级C、D组的人数为：20×（10%+25%）＝7，
把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84，故中位数a
84，
八年级20名学生的竞赛成绩的众数b＝86，
m%＝1﹣（10%+25%
）＝30%，即m＝30，
故答案为：84，86，30.
（2）七年级学生的航天知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于大于八年级，所以七年级学生的航天知识竞赛成绩较好.
（3）560×30%+500
293（人），
答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人．
20．【2025·重庆】（10分）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）
（
），其中x＝|﹣3|+（π﹣4）0．
解：原式＝3x2﹣x+3x﹣1﹣3x2﹣x
[
]
＝x﹣1
＝x﹣1
•
＝x﹣1
当x＝|﹣3|+（π﹣4）0＝3+1＝4时，原式
．
21．【2025·重庆】（10分）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，
根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100，
解得：x＝100，
∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）．
答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个；
（2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
根据题意得：
10，
解得y＝20，
经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个．
22．【2025·重庆】（10分）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2
．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4，
∴∠ABC＝90°，
∴AO＝CO＝5.
当
时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，
5时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，
∴
如图，过点B作BM⊥AC 于点M，
∵
∴
∴△ABE的面积为
同理可得△CDF 的面积为
又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，
∴
∴
；
（2）作图如下：
性质：当
时，y1随x的增大而减小；
当
时，y1随x的增大而增大（不唯一）；
当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小；
（3）结合函数图象，可得y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1＜或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）．
23．【2025·重庆】（10分）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．
（参考数据：
1.41，
1.73，
2.24，
2.65）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
由题意得，∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，
（千米），
DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB∥CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10千米，
米，
∴DF＝DE+EF＝20千米，
∴
（千米），
答：BD的长度约为26.5千米；
（2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，
在 Rt△FBC中，
千米，
千米，
∴CD＝DF+CF＝30千米，
设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米，
在 Rt△CMT 中，
千米，
MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（
x）千米，
∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10
x）＝（20
x）千米，
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，
∴
∴
或
（此时大于BC的长，舍去），
∴
（千米），
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．【2025·重庆】（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当
取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值；
（3）在（2）中
取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2
个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
解：（1）设抛物线的解析式为
把（6，0）代入得
解得
∴
.
（2）令x＝0，则y＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把（6，0）和（0，﹣6）代入得
解得
∴y＝x﹣6，
设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图，
则点F的坐标为（x，x﹣6），
∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵PF∥y轴，
∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ，
∴△QPF∽△QOC，
∴
∴当x＝3时，
取得最大值为
，这时点P的坐标为（3，﹣12），
把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD，
则四边形DEPG是平行四边形，
∴DG＝PE，
即BD+PE＝BD+DG，
由A，B关于
对称性可得点A的坐标为（﹣1，0），
连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长，
即
即BD+PE的最小值为
；
（3）∵AB＝AC＝6，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移
个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线y′，
即
过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM，
设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14），
由平移得∠QPM＝45°，
∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，
如图1，
∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，
即
解得a＝﹣5（舍去）或a＝2，
∴点N的坐标为（2，﹣12）；
如图2，
∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，
即
解得
或
（舍去），
∴点N的坐标为
；
综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或
．
25．【2025·重庆】（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明；
（3）如图3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由旋转得∠DAE＝60°，
∴∠DAC＝∠DAE＝∠CAE＝60°﹣20°＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝100°；
（2）
，证明如下：
如图，连接CE，DH，
∵α＝∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CGD＝∠ACB＝45°，
∴DG＝DC，
∴△BDG≌△ECD（SAS），
∴∠BGD＝∠EDC，BG＝DE，
∵点H是BG的中点，∠BDG＝90°，
∴
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠HDG＝∠EDC，
∴∠HDG+∠GDE＝∠EDC+∠GDE，
即∠HDF＝∠GDC＝90°，
∵点F是DE的中点，∠DCE＝90°，
∴
∴DH＝DF，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴
即
；
（3）如图，取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，
∴∠ACU＝30°，
⊥BC，
∴
∵V是AC中点，
∴
∴AU＝AV，
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∠DAE＝∠CAU＝60°，
∴∠DAU＝∠EAV，
∴△ADU≌△AEV（SAS），
∴∠AVE＝∠AUD＝90°，
由点V为固定点，∠AVE＝90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线，
即点E和点V重合时，CE最小，
此时如图，
由翻折可知AE＝QE，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，AE＝4为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值，
此时如图，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R，
由旋转知BM＝BE，∠MBE＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠BEM＝60°，BE＝EM，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠BEM＝∠AED＝60°，
∴∠AEM＝∠DEB，
∴△MAE≌△BDE（SAS），
∴MA＝BD，∠MAE＝∠BDE，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAE＝∠BAD＝60°，
∴AD⊥BC，
∴AD
AB＝4，
∴
∵E为AC中点，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ACB＝30°，
∴∠MAE＝∠BDE＝180°﹣∠EDC＝150°，
∴∠MAN＝180°﹣∠MAE＝30°，
∴
MN＝6，
∵∠BAS＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABS＝30°，
∴AS
AB＝4，
∴SE＝AS+AE＝4+4＝8，
∴
∵BS⊥CN，QR⊥CN．
∴∠BSE＝∠QRE＝90°，
又∵∠BES＝∠QER，
∴△BES∽△QER，
∴
即
解得
∴
∵MN⊥CA，QR⊥CN，
∴
．
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