(58)2025年长沙市中考
长郡教育集团一模数学第25题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，
已知抛物线y=ax²+bx-6的顶点坐标
为(2，-8).
3图1
(1）求该抛物线的解析式；
(2）如图1，点E为线段BC上一点，过
点E作EM//y轴，交x轴于点M，当AE
平分∠CEM时，求直线AE的解析式；
图2
(3）如图2，点F是该抛物线上位于第四
象限的一个动点，直线AF分别与y轴、
直线BC交于点D, E．若△CAD ,△CDE,
△CEF的面积分别为S₁，S₂，S₃，且满足
S₁+S₃=2S₂，求点F的坐标．
【解析】(1）在抛物线y=ax²+bx-6中，设x=0，
得 y=-6，
∴C(0，-6)，
∵顶点坐标为(2，-8)，
∴设所求抛物线解析式为
y=a(x-2)²-8,
把点C(0，-6)代入得，
-6=ax(0-2)²-8,
解得 a =1/2，
故所求抛物线解析式为
y =1/2(x-2)²-8，
(2）当 y=0时，
有 0=1/2(x-2)²-8,
解得 x₁=6,
x₂=-2,
∴A(-2，0), B(6，0),
设直线CB的解析式为
y=kx+b ,
将C(0，-6), B(6，0)代入
y = kx + b ，
得. -6=b ,
0=6k+b,
解得 k=1， b=-6,
∴直线CB的解析式为
y=x-6,
设直线AE的解析式为
y=mx+n,
把A(-2，0)代入得
0=-2m+n，
解得 n=2m，
∴直线AE的解析式为
y=mx+2m，
设x=0，
得 y=2m，
∴D(0，2m)，
联立 y=mx+2m，
y=x-6，
得 xE=-(2m+6)/(m-1)，
∵AE平分∠CEM ,
∴∠AEM=∠AEC ,
又∵EM//y 轴，
∴∠AEM=∠EDC ,
∴∠EDC=∠AEC ,
∴CD=CE=√2xp
=-√2(2m+6)/(m-1)，
∴ 2m+6=-√2(2m+6)/(m-1)，
解得 m=-√2+1,
∴直线AE的解析式为
y =(-√2+1) x +2-2√2
(3) ∵S₁+S₃=2S₂,
∴ AD+EF=2DE,
∴DE/AF=1/3，
∴xE/(xF+2)=1/3,
∴xF=3xE-2,①
由⑵可设直线AF的解析式
y=mx+2m,
联立 y=mx+2m,
y=x-6，
得 xE=-(2m+6)/(m-1)，
联立 y=mx+2m,
y=1/2(x-2)²-8，
得 1/2x²﹣(m+2)x-6-2m=0,
∴xA+xF=2m+4,
∴xF=2m+6>0，
即 m>-3,
由①得
2m+6=3x[-(2m+6)/(m-1)]-2，
解得 m₁=-1，
m₂=﹣5（舍）,
∴F(4，-6) .
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