(57)2025年湖南省中考
郴州市一模数学第26题
如图1，抛物线
y=-x²+bx+c
与x轴交于A, B 两点，与y轴交于
点C (0，3)，对称轴为直线x=1，点M
是抛物线上的一个动点，设它的横坐标
为m(0<m<3)，过点M作MN⊥x轴，与
BC交于点N，连接CM, BM .
图1
(1）求抛物线的表达式；
(2）求线段MN的最大值；
(3）是否存在以CN为腰的等腰三角形
CMN ？若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
【解析】(1）∵抛物线
y=-x²+bx+c
的对称轴为x =1，
∴-b/[2x(-1)]=1，
∴b=2，
∵抛物线
y=-x²+bx+c
与y轴交于点C(0，3)，
∴把点C的坐标代入抛物线解析式，
∴抛物线解析式为
y =-x²+2x+3，
(2）∵M是抛物线上的一个动点，
且它的横坐标为m，
∴设点M(m，-m²+2m+3),
设直线BC的解析式为
y=kx+b
把点C(0，3), B(3，0)代入，
得 b=3,
3k+b=0，
解得 k=-1，
b=3,
∴直线BC的表达式为
y=-x+3，
即点N(m，-m+3),
∴ MN=yM-yN
=(-m²+2m+3)-(-m+3)
=-m²+3m
=-(m-3/2)²+9/4 ,
∵a=-1<0时，抛物线开口向下，
当 m=3/2时， MN有最大值，
∴MN最大值=9/4，
(3）存在以CN为腰的等腰三角形CMN，
有以下两种情况：
①当CN=CM时，如图2，
图2
过C作CE⊥MN于点E ，
则点E为MN的中点，
即 ME=EN ,
∴E(m，3)，
∵ME=(-m²+2m+3)-3
=-m²+2m，
EN=3-(-m+3)
=m，
∴-m²+2m=m ,
解得 m₁=1，
m₂=0（舍去），
∴此时m=1，
②当CN=MN时，
∵CN=√2m,
∴√2m=-m²+3m,
解得 m₁=3-√2,
m₂=0（舍去）,
∴此时m=3-√2，
综上所述：当m=1或m=3-√2时，
存在以CN为腰的等腰三角形CMN .
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