(55)2025年汕头市中考
潮阳区一模数学第23题
如图1，抛物线
y=ax²+bx+5
与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,
AB=4，抛物线的对称轴直线x=3与
经过点A的直线y=kx-1交于点D，与
x轴交于点E .
图1
(1）求抛物线的表达式；
(2）若在抛物线上存在点M ，使得
△ADM是以AD为直角边的直角三角形，
求出所有点 M 的坐标；
(3）以点B为圆心，画半径为2的圆，
P为OB上一个动点，请求出PC+1/2PA
的最小值。
【解答】(1）∵抛物线的对称轴
为直线 x=3,
且 AB =4,
∴A(1，0), B (5，0),
则抛物线的表达式为：
y =a(x-1)(x-5)
=a(x²-6x+5)
=ax²+bx+5,
∴ -6a=b，
5a=5，
解得 a=1,
b=-6
故抛物线的解析式为
y=x²-6x+5，
(2)∵直线AD
y=kx-1，
经过点4(1，0),
得 k-1=0，
解得 k=1,
∴直线AD的解析式为
y=x-1,
∵直线AD的解析式为
y=x-1，
抛物线对称轴直线x=3
与x轴交于点E ,
当 x=3时， y=x-1=2,
∴D(3，2)，
设 M(x , y)，
则AD²=(3-1)²+2²=8,
AM²=(x-1)²+y²,
DM²=(x-3)²+(y-2)²,
①当∠DAM=90°时，
由AD²+ AM²=DM² ，
得 8+(x-1)²+y²=(x-3)²+(y-2)²，
化简得 y=-x+1，
联立 y=-x+1，
y=x²-6x+5.
解得 x₁=1，
y₁=0，
或 x₂=4，
y₂=﹣3，
∴点M的坐标为(4，-3),
②当∠ADM =90°时，
AD²+ DM²=AM² ,
同理可求得点 M 的坐标为
（0，5）或（5，0),
综上所述，点M的坐标为
（4，-3）或（0，5）或（5，0)，
(3）如图2，在AB上取点F ，
使 BF=1，连接CF, PF, PB ，
图2
∵PB =2,
∴BF/PB=1/2，
∵PB/AB=2/4=1/2，
∴PB/AB=BF/PB，
∵∠PBF=∠ABP ，
∴△PBF∽△ABP ，
∴FP/PA=FB/PB=1/2，
即 FP=1/2PA，
∴PC+1/2PA=PC+PF≥CF，
当点C, P, F三点共线时，
PC+1/2PA的值最小，
即为线段CF的长，
∵OC=5，
OF=OB-1
=5-1
=4，
∴CF=√(OC²+OF²)
=√(5²+4²)
=√41，
∴PC +1/2PA的最小值为√41.
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