(53)2025年广州市中考
增城区一模数学第24题
如图1，边长为4的正方形ABCD内部有
一点E，点F在边AD的上方，AE=AF，
∠EAF=90°，连接EF，BE，DF .
图1
(1）求证：△ABE≌△ADF :
(2）延长BE交DF所在直线于点G :
①若 AE=√2，∠BAE=45°时，
求△EFG的面积：
②若 AE=2，当∠BAE从0°到60°的变化
过程中，求点G经过的路径长．
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD ,
∠BAD=∠EAF=90°,
∴∠BAE=∠DAF ,
在△BAE和△DAF中，
∵ AB=AD ，
∠BAE=∠DAF ，
AE=AF ，
∴△BAE≌△DAF (SAS) ,
(2)①如图2，设AD交EF于Q，
BQ交AD于P，
图2
∵AE=AF=√2，
∴EF=2, ∠AEF =45°，
∵△BAE≌△DAF ，
∴∠ABE=∠ADF ，
∵∠APB=∠DPG ,
∴∠BGD=∠BAP=90°,
∴∠FGE=90°，
∵∠BAE=45°，
∴∠DAE=45°，
∵∠AEF=45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴AQ=QF=1,
QD=AD-AQ
=4-1
=3,
DF²=FQ²+QD²=10，
∵∠EFG=∠DFQ ,
∠EGF=∠DQF=90°，
∴△EFG∽△DFQ ，
∴ S△EFG/S△DFQ=(EF/DF)²
=4/10
=2/5，
又∵S△DFQ=1/2FQ·QD
=3/2，
∴S△EFG =(EF/DF)²S△DFQ
=2/5x3/2
=3/5，
②如图3，连接BD，取BD的中点O，
连接OA，OD，OG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°,
∵点O是BD的中点，
∴OA=OB=OD ,
∵BE⊥DF ,
∴∠BGD=90°,
∵点O是BD的中点，
∴ OG=OB=OD ,
∴G在以O为圆心，
OD为半径的⊙O上，
过F作FN⊥AD于N，
设∠BAE=α，
当α=60°时，
∴∠DAF=60°, ∠AFN =30°,
∵AF=AE=2,
∴AN=1/2AF =1,
FN=√(AF²-AN²)
=√3,
∴DN=4-1=3,
DF=√(FN²+DN²)
=2√3,
∴AF²+DF²=3+12=16,
又∵AD²=16，
∴AF²+DF²=AD²，
∴∠AFD=90°,
∴∠ADF=30°,
∴∠AOG=2∠ADF=60°,
当旋转角α从0°变化到60°时，
点G在AG上运动，
∵AB=4, OA=OB ,
AO⊥BD,
∴OA=4x√2/2=2√2,
∴点G经过路线的长度为
60πx2√2/180=2√2π/3 .
往期文章
