(51)2025年河南中考
漯河市一模数学第23题
综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累
了一定的研究经验，请运用已有的经验，
对"勾股四边形"进行研究．
定义：存在相邻两边的平方和等于其中
一条对角线的平方的四边形叫做"勾股
四边形"，这两条相邻的边称为这个
四边形的勾股边．
特例感知
(1）在平行四边形，矩形，菱形，
正方形四种图形中，一定为"勾股
四边形"的是________________,
性质探究
(2）如图1, OA=OB , OC=OD ,
∠AOB=∠COD=2θ，∠BDO=θ，
图1
①求证：无论θ取何值，四边形OBDC
一定为"勾股四边形".
拓展应用
②若四边形ABDO也为"勾股四边形"，
且BD , OD为勾股边，求θ的值，
图2
(3）如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°,
AB=3, BC=6, D是边AB的三等分点
(BD<AD), E是边BC的中点，在边AC
上取一点F，使得四边形ADEF是"勾股
四边形"，当DE和EF是勾股边时，
请直接写出 CF 的长．
【解析】(1）矩形、正方形 ，
(2)①∵OC=OD , ∠COD=2θ,
∴∠ODC=∠OCD
=(180°-∠COD)/2
=(180°-2θ)/2
=90°-θ，
又∵∠BDO=θ，
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC
=90°，
在 Rt△DCB中，
DC²+BD²=BC²,
即四边形OBDC一定为"勾股四边形"，
②∵∠AOB=∠COD=2θ，
∴∠AOD=∠BOC ，
在△AOD与△BOC中，
∵OA=OB ,
∠AOD=∠BOC ,
OD=OC ，
∴△AODS≌△BOC (SAS),
∴AD=BC ，
又∵DC²+BD²=BC² ,
∴DC²+BD²=AD²，
∵四边形ABDO为"勾股四边形"，
且 OD²+BD²= AD² ,
∴ CD=OD ，
又∵OC=OD ,
∴△DOC是等边三角形，
∴∠COD=2θ=60°，
∴θ=30°，
⑶ 9√5/7
或 (6√5+√155)/5
或 (6√5-√155)/5，
∵ AB=3,
D是边AB的三等分点(BD<AD),
∴AD=2, BD=1，
∵BC=6,
E是边BC的中点，
∴BE=CE=3,
∴AE=3√2，DE=√10，AC=3√5，
分两种情况：
①当DE²+EF²=DF²，
即∠DEF=90°，
如图3，过点F作FG⊥BC于点G，
图3
易得△ACB∽△FCG ,
△DBE∽△EGF ,
∴CG/FG=BC/AB
=6/3
=2，
EG/FG=BD/BE
=1/3，
∴CG=2FG, EG=1/3FG ,
∴CG=6EG，
∵CE=3,
∴CG=6/7CE=18/7，
∴FG=9/7,
∴CF=9√5/7，
②DE²+ EF²=AE²，
即（√10)²+EF²=(3√2)²，
解得 EF=2√2，
如图4、图5，分别过点E作EH⊥AC
于点H ，
图4
图5
易得△ACB∽△ECH ，
∴CH/CB=EH/AB
=CE/CA
=3/(3√5)
=√5/5，
∴EH=3√5/5,
CH=6√5/5,
∵EF=2√2,
∴HF=√155/5，
∴CF=CH±HF
=(6√5±√155)/5，
综上所述， CF的长为9√5/7
或(6√5+√155)/5
或 (6√5-√155)/5，
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