隐圆问题的五种常见题型～中考最值问题

隐圆问题的核心在于“发现”那个隐藏的圆，一旦找到，最值、轨迹等问题就能迎刃而解。这里为你整理了最常见的五种题型和对应的解题思路。

🎯题型一：定点定长

这是最基础的模型，直接对应圆的第一定义。

​​特征：​​ 题目中出现“到某定点的距离为定值”这类条件。
​​思路：​​ 某点到定点的距离是定长，说明该点的轨迹是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。直接画出这个圆，问题就转化为了圆上的点与其他点或线的关系问题。

📐题型二：定长对直角

这个模型非常经典，是“定长对定角”的特例。

​​特征：​​ 题目中出现“某动点与两定点构成的角为90°”或“以某线段为直径作圆”。
​​思路：​​ 如果一个角的顶点在运动，而它所对的线段长度固定且该角为直角，那么这个顶点的轨迹是以这条线段为直径的圆。 反过来，若题目中出现以某线段为直径的圆，那么圆上任意一点与该线段两端点构成的角都是直角。

📐题型三：定弦对定角

这是“定长对直角”的升级版，角度不再是90°。

​​特征：​​ 题目中出现“某动点与两定点构成的角为一个固定的角度（非90°）”。
​​思路：​​ 如果一个角的顶点在运动，它所对的线段（弦）长度固定，且角的大小不变，那么这个顶点的轨迹是两段圆弧。 这个圆叫做该定弦的“圆周角轨迹圆”。

📐题型四：到两定点距离平方和为定值

这个模型相对隐蔽，需要一定的代数变形能力。

​​特征：​​ 题目中出现“某动点到两个定点的距离的平方和为一个常数”。
​​思路：​​ 设动点为P(x,y)，两定点为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，根据条件列出方程 PA² + PB² = C。展开并整理这个方程，可以化简为一个圆的方程，从而确定圆心和半径。

⚖️题型五：到两定点距离之比为定值

这是一个非常巧妙的模型，由 阿波罗尼斯圆 定义。

​​特征：​​ 题目中出现“某动点到两个定点的距离之比为一个不等于1的常数”。
​​思路：​​ 设动点为P，两定点为A和B，且满足 PA/PB = k（k>0且k≠1），则P点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆。关键是根据这个比例关系，通过坐标法或几何方法求出该圆的圆心和半径。#隐圆问题解题技巧 #中考数学最值问题 #几何图形与圆的关系