(48)2025年重庆市中考
奉节县一模数学第26题
在△ABC中，∠ABC=90°, AB=BC=12，
点E，F分别为边AB，BC上的动点，
BD⊥AC交AC于点D，连接AF交BD于
点G .
图1
(1）如图1，连接DF，若AB=3CF，
求△CDF的面积，
图2
(2）如图2，若BE=BF，作EH⊥AF交
AF于点H，交AC于点I ，
求证：AI=2DG，
图3
(3）如图3，若BE+BF=AB，连接EF，
并将EF绕点E逆时针旋转135°至EP，
连接CP ，直接写出CP的最小值．
【解答】(1）如图4,取BC的中点H，
连接DH ,
图4
∵ AB=BC，BD⊥AC ，
∴CD=AD .
∵∠ABC=90°,
∴CD=BD=1/2AC ，
同理可得，
DH⊥BC，
DH=1/2BC=6,
∵AB=12，AB=3CF ,
∴ CF=4,
∴ S△CDF=1/2CF·DH
=1/2x4x6
=12，
(2）如图5，延长AF至Q ，使GQ=AG，
连接CQ ,
图5
由⑴可知：
AD=CD , BD⊥AC ,
∴CQ=2DG,
CQ//BD ,
∴ QC⊥AC .
∴∠ACQ=90°,
∵AB=BC ,
∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∴∠FCQ=∠ACQ-∠ACB
=90°-45°
=45°,
∴∠BAC=∠FCQ ,
∵BF=BE ,
∴BC-BF=AB-BE ,
∴CF=AE .
∵EH⊥AF ，
∴∠EHF =90°，
∴∠ABC+∠EHF=90°+90°
=180°,
在四边形BEHF中，
∠BFH+∠BEH=360°-(∠ABC+∠EHF)
=180°，
∵∠AEH+∠BEH=180°，
∴∠BFH=∠AEH ，
∵∠CFQ=∠BFH ,
∴∠CFQ=∠QEH,
∴△CFQ≌△AEI (ASA)，
∴Al=CQ=2DG，
(3）如图6,连接DE, DF，
作DW⊥BC于W ，作DV⊥AB于V，
并延长至X ，使VX=√2DV，
过点V 作AB的平行线L，延长BC交L于
点P ,
图6
当点F在点W处时， E点在V处，
VX=6√2,
∵AB=BC ,
∵ BE+BF=AB ,
AB=AE+BE ,
∴BF=AE ,
∵∠CBD=∠A=45°,
BD=AD ,
∴△BDF≌△ADE (SAS)，
∴DF=DE , ∠BDF=∠ADE ,
∴∠BDF+∠BDE=∠ADE+∠BDE,
∴∠EDF=∠ADB=90°,
∴∠DEF=∠DFE=45°,
∴EF=√2DE，
∵EF绕点E逆时针旋转135°至EP ,
∴∠FEP=135°, PE=EF ,
∴∠DEF+∠FEP=180°，
PE=√2DE，
∴D，E，P共线，
∵DV/VX＝DE/DP，
∴ DV/DX＝DE/DP，
∵∠EDV=∠PDX ，
∴△DEV∽△DPX ，
∴∠DEV=∠DPX .
∴EV//PX .
∴点P在过点X且与 AB 平行的
直线上运动，
当点P在P处时，
CP最小值＝BC+BP
=BC+VX
=12+6√2 .
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