2026中考数学素养导向需要这样的好题

新中考素养导向下的一道好题：圆与坐标最值问题。在新中考数学命题强调“核心素养”的背景下，一道能同时考查几何直观、代数运算、转化化归思想的题目，无疑是师生备考的优质素材。一起学习一道极具代表性的圆与坐标最值问题，最主要的是学习思维方法。

一、题目呈现

在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 C 的坐标为 (4, 3)，⊙C 的半径为 2，P 为 ⊙C 上的一点，PM ⊥ x 轴，垂足为 M，则 OM + PM 的最小值为______。

二、题目分析

这道题之所以被认为是贴合新中考形势的好题，主要体现在以下几个方面：

1. 素养导向：题目以圆和坐标为载体，将几何图形与代数运算自然融合，重点考查“数形结合”“转化化归”“逻辑推理”等核心素养，而非单纯的知识点记忆。

2. 思维深度：它没有直接给出公式套用，而是需要学生将“OM + PM”这个直观的几何和，转化为一个线性目标函数的最值问题，引导学生从“算答案”走向“想方法”。

3. 梯度合理：入口宽，出口深。可以用高中的参数方程求解，也可以初中阶段高难度几何变换思想解决，能有效区分不同思维层次的学生。这样的题目作为中考数学题目能够对初中阶段核心知识和能力进行有效的考查，同时又兼顾了初稿衔接相关知识的链接，特别是提前学习高中知识又能理解和接受的选用高中方法也是能力的体现。

4. 贴近中考：近年来，多地中考压轴题都倾向于这种“几何背景+代数最值”的综合题型，本题的设计思路与命题趋势高度一致。

三、解法引导

解法一：参数化点坐标 + 辅助角公式

 高中方法。

解法二：几何变换法（平移直线）

1. 转化问题

设点 P 的坐标为 (x, y)，则  OM = x ， PM = y ，我们要求的是  x + y  的最小值，其中点 P(x, y) 在圆  (x-4)^2 + (y-3)^2 = 4  上。

2. 几何意义

令  x + y = k ，这是一条斜率为 -1 的直线。我们的问题转化为：当这条直线与圆有交点时，求 k 的最小值。

3. 利用距离公式

当直线  x + y = k  与圆相切时，k 取得极值。此时，圆心 C(4, 3) 到直线的距离等于半径 2。

根据点到直线的距离公式。

4. 确定最小值

四、总结与启示

这道题的两种解法，本质上都是“转化”思想的体现：

- 参数化：将几何问题转化为三角函数的最值问题。

- 几何变换：将代数最值问题转化为直线与圆的位置关系问题。

在新中考的备考中，我们不应只满足于“会做”，更要追求“会想”。通过这样的题目，我们可以引导学生：

1. 建立联系：主动发现几何与代数之间的桥梁。

2. 灵活转化：将陌生、复杂的问题，转化为熟悉、简单的问题。

3. 优化思维：在多种解法中比较优劣，选择最简洁、最本质的路径。