(43)2025年武汉市中考
江夏等四个区一模数学第24题
如图1，抛物线
y=a(x-1)²-4a
与x轴交于A, B两点，与y轴负半轴交于
点C , OC=3/2，
图1
(1）直接写出抛物线的解析式为_______，
(2）如图1，若D(0，1/2）为y轴上一点,
M是直线AD 上一点(不与D重合)，点N
是抛物线上一点．若线段MN与CD恰好
关于平面内一点P成中心对称，求点P的
横坐标：
图2
(3）如图2，平移抛物线使其项点为
原点，过K(2，0)的直线交平移后的
抛物线于E, F两点，T(0，t)是y轴
正半轴上一点，直线ET交抛物线于
另一点G，直线FT交抛物线于另一
点H，设直线HG的解析式为
y=px+q，
试求t/p的值。
【解答】(1）由 OC=3/2，
可知C(0，-3/2)，
把C(0，-3/2)代入到
y=a(x-1)²-4a
中，得
a-4a=-3/2,
解得 a =1/2
故抛物线的解析式为
y=1/2x²-x-3/2，
故答案为： y=1/2x²-x-3/2 .
(2)令y=0，得
1/2x²-x-3/2=0,
解得 x₁=-1，x₂=3,
故A(-1，0), B(3，0),
又∵D (0，2)，由待定系数法可得
直线AD的表达式为 y=1/2x+1/2，
∵线段MN与CD恰好关于平面内一点P
成中心对称，
∴四边形DCMN为平行四边形， P点
为以DC和MN为对边的平行四边形的
对角线交点，
∴ MN⊥x 轴，
且 MN=CD=2,
故点P的横坐标为
xP＝1/2xM，
∵M是直线AD上一点(不与D重合)，
点N是抛物线上一点，
故设 M(m，1/2m+1/2)，
N(m，1/2m²-m-3/2)
∴ MN=|1/2m+1/2-(1/2m²-m-3/2)|
=|-1/2m²+3/2m+2|
=2,
上式可分为两种情况：
①当﹣1/2m²+3/2m+2=2时，
解得 m₁=3，
m₂=0（舍去），
此时 xP=3/2，
当﹣1/2m²+3/2m+2=-2时，
解得 m=(3±√41)/2，
此时 xP=(3±√41)/4，
综上，点P的横坐标为
3/2或(3+√41)/4或(3-√41)/4，
(3）由题意可知，平移后的抛物线
表达式为
y=1/2x² ,
∵K (2，0),
设直线KE的表达式为
y=k(x-2),
联立直线KF与物线
y=1/2x² ,
整理可得
1/2x²-kx+2k=0,
由韦达定理可得
xE+xF=2k,
xE·xF=4k,
又∵T(0，t),
故设直线ET表达式为
y=mx+t，
设直线FT的表达式为
y=nx+t，
联立直线ET与抛物线
y=1/2x²，
整理可得
1/2x²-mx-t=0
由韦达定理可得
xE·XG =-2t，
∴ xG=-2t/xE ，
联立直线FT与抛物线
y=1/2x²，
同理可得
xH=﹣2t/xF ，
联立直线HG与抛物线
y=1/2x²，
整理可得
1/2x²﹣px-q=0，
由韦达定理有
xH+xG=2p ,
即 ﹣2t/xF＋(-2t/xE）=2p，
∴ ﹣2t(xF+xE)/(xF·xE)=2p,
∴ -2t(2k)/4k=2p，
∴ t=-2p，
整理可得 t/p=-2.
往期文章
